Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2: uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por 330^\circ, e uma reflexão T através do eixo x. O que nos pedem é a matriz que representa a composição R\,T (ou seja, aplicar primeiro T e depois R). Informações relevantes dadas:
\text{Rotação: } R \text{ por } 330^\circ \quad\text{e}\quad \text{Reflexão: } T \text{ no eixo } x.çãã
Pergunta: qual das opções (A)–(H) coincide com a matriz de R\,T?
Passo 2
Vamos lembrar como escrever a matriz da reflexão T através do eixo x. A reflexão no eixo x envia (x,y) em (x,-y). Tomando as imagens dos vetores canônicos \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1):
onde \cos\theta e \sin\theta são as coordenadas da imagem de \mathbf{e}_1 e a segunda coluna vem da imagem de \mathbf{e}_2. Nesta notação, a rotação pedida é R=R(330^\circ).]
Passo 4
Calculemos \cos e \sin de 330^\circ. Como 330^\circ = 360^\circ - 30^\circ, temos
Multiplicamos coluna a coluna (ou usando a regra de multiplicação de matrizes): a primeira coluna de T é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, logo a primeira coluna de R\,T é R\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, que é a primeira coluna de R. A segunda coluna de T é \begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}, logo a segunda coluna de R\,T é R\begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}=- (segunda coluna de R). Assim: