Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2: uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por 330^\circ, e uma reflexão T através do eixo x. O que nos pedem é a matriz que representa a composição R\,T (ou seja, aplicar primeiro T e depois R). Informações relevantes dadas:
\text{Rotação: } R \text{ por } 330^\circ \quad\text{e}\quad \text{Reflexão: } T \text{ no eixo } x.çãã
Pergunta: qual das opções (A)–(H) coincide com a matriz de R\,T?

Passo 2

Vamos lembrar como escrever a matriz da reflexão T através do eixo x. A reflexão no eixo x envia (x,y) em (x,-y). Tomando as imagens dos vetores canônicos \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1):
T(\mathbf{e}_1)=(1,0)=\mathbf{e}_1,\qquad T(\mathbf{e}_2)=(0,-1)=-\mathbf{e}_2.
A matriz cujas colunas são as imagens de \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 é
T=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
(Explicação rápida: cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor base.)]

Passo 3

Agora a fórmula padrão para a matriz de uma rotação de ângulo \theta, no sentido anti-horário, é
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
onde \cos\theta e \sin\theta são as coordenadas da imagem de \mathbf{e}_1 e a segunda coluna vem da imagem de \mathbf{e}_2. Nesta notação, a rotação pedida é R=R(330^\circ).]

Passo 4

Calculemos \cos e \sin de 330^\circ. Como 330^\circ = 360^\circ - 30^\circ, temos
\cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 330^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}.
(Usei a identidade \sin(360^\circ-\alpha)=-\sin\alpha e \cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha.)

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da rotação, obtemos
R = R(330^\circ)=\begin{pmatrix}\cos 330^\circ & -\sin 330^\circ \\[4pt] \sin 330^\circ & \cos 330^\circ\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\big(-\dfrac{1}{2}\big) \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[4pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
(Detalhe: -\sin 330^\circ = -(-\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{2}.)]

Passo 6

Agora calculamos a matriz da composição R\,T, que é o produto matricial R\cdot T. Escrevendo o produto:
R\,T=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[4pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Multiplicamos coluna a coluna (ou usando a regra de multiplicação de matrizes): a primeira coluna de T é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, logo a primeira coluna de R\,T é R\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, que é a primeira coluna de R. A segunda coluna de T é \begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}, logo a segunda coluna de R\,T é R\begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}=- (segunda coluna de R). Assim:
R\,T=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparemos a matriz obtida com as alternativas. A matriz que encontramos
\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[4pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}
corresponde exatamente à alternativa (E).]

Resposta

(E)

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