Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}\right., \left.-2 x_{1}-7 x_{2}-6 x_{3}-3 x_{4}, \quad-x_{1}-8 x_{2}-4 x_{3}-2 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3
definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4},\;-2x_{1}-7x_{2}-6x_{3}-3x_{4},\;-x_{1}-8x_{2}-4x_{3}-2x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T?
Informações relevantes dadas:
  • A transformação é linear e mapeia vetores de \mathbb{R}^4 em \mathbb{R}^3.
  • Os coeficientes das componentes de T fornecem uma matriz 3\times 4 cujas colunas geram a imagem de T.
  • Precisamos encontrar a dimensão do subespaço imagem, isto é, o número de vetores linearmente independentes que geram essa imagem.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a imagem de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que podem ser escritos como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^4. Se escrevemos T pela matriz A (com respeito às bases canônicas), a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A (o chamado espaço-coluna). A dimensão da imagem é, portanto, a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A, que é o posto (rank) de A. Para calcular o posto, fazemos eliminação (redução por linhas) e contamos o número de linhas não nulas (ou pivôs). Vou mostrar isso passo a passo para a matriz associada a T.

Passo 3

Escrevendo a matriz associada A (peguei diretamente os coeficientes do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\[4pt] -2 & -7 & -6 & -3\\[4pt] -1 & -8 & -4 & -2 \end{pmatrix}.
Cada coluna de A corresponde à imagem dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4. Nosso objetivo é determinar quantas colunas são linearmente independentes, o que equivale a determinar o número de pivôs após reduzir A.]

Passo 4

Vamos aplicar operações elementares por linhas para triangularizar a matriz. Primeiro, tomo R_1 como linha de referência.
Faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Calculo cada entrada:
  • primeira entrada: -2 + 2\cdot1 = 0,
  • segunda: -7 + 2\cdot2 = -7 + 4 = -3,
  • terceira: -6 + 2\cdot2 = -6 + 4 = -2,
  • quarta: -3 + 2\cdot1 = -3 + 2 = -1.
Assim a nova R_2 é [0\; -3\; -2\; -1].
Faço R_3 \leftarrow R_3 + R_1. Calculo:
  • primeira entrada: -1 + 1 = 0,
  • segunda: -8 + 2 = -6,
  • terceira: -4 + 2 = -2,
  • quarta: -2 + 1 = -1.
Assim a nova R_3 é [0\; -6\; -2\; -1].
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -3 & -2 & -1\\[4pt] 0 & -6 & -2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Continuo a eliminação para zerar abaixo do pivô da segunda linha. Faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Calculo:
  • primeira entrada: 0 - 2\cdot0 = 0,
  • segunda: -6 - 2\cdot(-3) = -6 + 6 = 0,
  • terceira: -2 - 2\cdot(-2) = -2 + 4 = 2,
  • quarta: -1 - 2\cdot(-1) = -1 + 2 = 1.
A nova R_3 é [0\; 0\; 2\; 1]. Agora a matriz está em forma de escalonamento:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -3 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação do resultado: temos três linhas não-nulas (cada linha tem um pivô: na coluna 1, na coluna 2 e na coluna 3 respectivamente). Isso significa que há três pivôs e, portanto, o posto da matriz A é 3. Pelo que vimos antes, a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A. Observe também que o posto não pode ser maior que 3 porque a matriz tem apenas 3 linhas (o espaço de saída é \mathbb{R}^3), então obter 3 é o caso máximo possível — a imagem é um subespaço de dimensão máxima em \mathbb{R}^3.

Resposta

(D) 3

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