A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T?
Informações relevantes dadas:
A transformação é linear e mapeia vetores de \mathbb{R}^4 em \mathbb{R}^3.
Os coeficientes das componentes de T fornecem uma matriz 3\times 4 cujas colunas geram a imagem de T.
Precisamos encontrar a dimensão do subespaço imagem, isto é, o número de vetores linearmente independentes que geram essa imagem.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a imagem de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que podem ser escritos como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^4. Se escrevemos T pela matriz A (com respeito às bases canônicas), a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A (o chamado espaço-coluna). A dimensão da imagem é, portanto, a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A, que é o posto (rank) de A. Para calcular o posto, fazemos eliminação (redução por linhas) e contamos o número de linhas não nulas (ou pivôs). Vou mostrar isso passo a passo para a matriz associada a T.
Passo 3
Escrevendo a matriz associada A (peguei diretamente os coeficientes do enunciado):
Cada coluna de A corresponde à imagem dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4. Nosso objetivo é determinar quantas colunas são linearmente independentes, o que equivale a determinar o número de pivôs após reduzir A.]
Passo 4
Vamos aplicar operações elementares por linhas para triangularizar a matriz. Primeiro, tomo R_1 como linha de referência.
Faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Calculo cada entrada:
Interpretação do resultado: temos três linhas não-nulas (cada linha tem um pivô: na coluna 1, na coluna 2 e na coluna 3 respectivamente). Isso significa que há três pivôs e, portanto, o posto da matriz A é 3. Pelo que vimos antes, a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A. Observe também que o posto não pode ser maior que 3 porque a matriz tem apenas 3 linhas (o espaço de saída é \mathbb{R}^3), então obter 3 é o caso máximo possível — a imagem é um subespaço de dimensão máxima em \mathbb{R}^3.