Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(1,3,0),(-2,0,-3)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(1,3,-3)\}. Se a_{21}=-45, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{33} :
(A) -37
(B) -36
(C) -35
(D) -34
(E) -33
(F) -32
(G) -31
(H) -30

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Núcleo de A: \ker A=\operatorname{span}\{(1,3,0),(-2,0,-3)\}.
  • Imagem de A: \operatorname{Im} A=\operatorname{span}\{(1,3,-3)\}.
  • A matriz A é 3\times3.
  • É dado que a_{21}=-45 (entrada da segunda linha, primeira coluna).
  • Pedido: determinar a entrada a_{33} (terceira linha, terceira coluna) e assinalar entre as opções fornecidas.

Passo 2

Entendendo dimensões: a dimensão do núcleo (nullidade) é 2 porque são dois vetores geradores independentes. Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity) para uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em si, vale
\operatorname{rank}A+\dim\ker A=3.
Como \dim\ker A=2, segue \operatorname{rank}A=1. Isso confirma que \operatorname{Im}A é um subespaço unidimensional, compatível com a informação dada.
Explicando rápido: posto =1 significa que toda coluna de A é múltiplo do mesmo vetor não nulo gerador da imagem.

Passo 3

Denotemos as colunas de A por
c_1,\;c_2,\;c_3\in\mathbb{R}^3,
ou seja
A=[\,c_1\;\;c_2\;\;c_3\,].
Como \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(1,3,-3)\}, cada coluna é um múltiplo daquela direção. Seja
v=(1,3,-3).
Então existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
c_1=\alpha v,\qquad c_2=\beta v,\qquad c_3=\gamma v.

Passo 4

Usamos as condições do núcleo: se u\in\ker A então Au=0, ou seja combinação linear das colunas é zero.
Para u=(1,3,0)\in\ker A temos
A(1,3,0)=c_1+3c_2+0\cdot c_3=0.
Substituindo c_j= escalares \times v,
(\alpha+3\beta)v=0.
Como v\neq0, obtemos a equação escalar
\alpha+3\beta=0\quad\Longrightarrow\quad \alpha=-3\beta.
Para u=(-2,0,-3)\in\ker A temos
A(-2,0,-3)=-2c_1-3c_3=0.
Novamente, substituindo:
(-2\alpha-3\gamma)v=0,
logo a equação escalar
-2\alpha-3\gamma=0\quad\Longrightarrow\quad \gamma=-\tfrac{2}{3}\alpha.

Passo 5

Agora usamos a informação numérica dada: a_{21}=-45. Essa é a entrada da segunda linha da primeira coluna, ou seja é a segunda componente de c_1. Como c_1=\alpha v e a segunda componente de v é 3, temos
a_{21} = (\alpha v)_2 = \alpha\cdot 3.
Assim
3\alpha=-45 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=-15.

Passo 6

Com \alpha=-15 achamos \beta e \gamma pelas relações do Passo 4:
\alpha=-3\beta \;\Rightarrow\; \beta=-\tfrac{\alpha}{3} = -\tfrac{-15}{3}=5.
\gamma=-\tfrac{2}{3}\alpha = -\tfrac{2}{3}\cdot(-15)=10.

Passo 7

Agora escrevemos explicitamente as colunas usando v=(1,3,-3):
c_1=\alpha v=-15(1,3,-3)=(-15,-45,45),
c_2=\beta v=5(1,3,-3)=(5,15,-15),
c_3=\gamma v=10(1,3,-3)=(10,30,-30).
Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix} -15 & 5 & 10\\\\ -45 & 15 & 30\\\\ 45 & -15 & -30 \end{pmatrix}.

Passo 8

Da matriz acima, a entrada buscada é
a_{33}=\text{terceira linha, terceira coluna}= -30.

Resposta

(H) -30

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