Q5:
é tal que Núcleo
e Imagem
. Se
, calcule a matriz
. Assinale abaixo o valor da entrada
:
(A) -37
(B) -36
(C) -35
(D) -34
(E) -33
(F) -32
(G) -31
(H) -30
(A) -37
(B) -36
(C) -35
(D) -34
(E) -33
(F) -32
(G) -31
(H) -30
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Núcleo de
: . - Imagem de
: . - A matriz
é . - É dado que
(entrada da segunda linha, primeira coluna). - Pedido: determinar a entrada
(terceira linha, terceira coluna) e assinalar entre as opções fornecidas.
Passo 2
Entendendo dimensões: a dimensão do núcleo (nullidade) é
porque são dois vetores geradores independentes. Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity) para uma transformação linear de
em si, vale
Como
, segue
. Isso confirma que
é um subespaço unidimensional, compatível com a informação dada.
Explicando rápido: posto
significa que toda coluna de
é múltiplo do mesmo vetor não nulo gerador da imagem.
Passo 3
Denotemos as colunas de
por
ou seja
Como
, cada coluna é um múltiplo daquela direção. Seja
Então existem escalares
tais que
Passo 4
Usamos as condições do núcleo: se
então
, ou seja combinação linear das colunas é zero.
Para
temos
Substituindo
escalares
,
Como
, obtemos a equação escalar
Para
temos
Novamente, substituindo:
logo a equação escalar
Passo 5
Agora usamos a informação numérica dada:
. Essa é a entrada da segunda linha da primeira coluna, ou seja é a segunda componente de
. Como
e a segunda componente de
é
, temos
Assim
Passo 6
Com
achamos
e
pelas relações do Passo 4:
Passo 7
Agora escrevemos explicitamente as colunas usando
:
Portanto a matriz
é
Passo 8
Da matriz acima, a entrada buscada é
Resposta
(H) -30