Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (4,-4,2,-3) e ( 3,1,-1,-2 ) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos o ângulo \theta entre os vetores (4,-4,2,-3) e (3,1,-1,-2) em \mathbb{R}^{4} e escolha o intervalo correto entre as alternativas dadas.
Informações dadas: os dois vetores são \mathbf{u}=(4,-4,2,-3) e \mathbf{v}=(3,1,-1,-2).
Pergunta explícita: qual é o intervalo (A)–(H) que contém o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v}?

Passo 2

Ferramenta principal (fórmula que vamos usar). Para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^n o produto interno (ou produto escalar) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} u_i v_i
e a norma (comprimento) de \mathbf{u} é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} u_i^2}.
O cosseno do ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é dado por
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Explicando em palavras: calcule o produto componente a componente, some; calcule as normas somando quadrados e tirando raiz; divida o produto escalar pelo produto das normas para obter \cos\theta; por fim, recupere o intervalo de \theta usando a monotonicidade de \cos em [0,\pi].

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Usando os componentes dados:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=4\cdot 3 + (-4)\cdot 1 + 2\cdot(-1) + (-3)\cdot(-2).
Agora fazemos as multiplicações e somas passo a passo:
4\cdot 3=12,\quad (-4)\cdot 1=-4,\quad 2\cdot(-1)=-2,\quad (-3)\cdot(-2)=6.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=12-4-2+6=12.

Passo 4

Calcular a norma de \mathbf{u}. Primeiro os quadrados das componentes:
4^2=16,\quad (-4)^2=16,\quad 2^2=4,\quad (-3)^2=9.
Somando os quadrados:
\|\mathbf{u}\|^2=16+16+4+9=45.
Portanto
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
Expliquei: 45=9\cdot 5 então \sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}.

Passo 5

Calcular a norma de \mathbf{v}. Quadrados das componentes:
3^2=9,\quad 1^2=1,\quad (-1)^2=1,\quad (-2)^2=4.
Somando:
\|\mathbf{v}\|^2=9+1+1+4=15.
Assim
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{15}.

Passo 6

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}=\frac{12}{(3\sqrt{5})\sqrt{15}}.
Simplificamos o denominador: (3\sqrt{5})\sqrt{15}=3\sqrt{75}=3\sqrt{25\cdot 3}=3\cdot 5\sqrt{3}=15\sqrt{3}. Portanto
\cos\theta=\frac{12}{15\sqrt{3}}=\frac{4}{5\sqrt{3}}.
Expliquei a simplificação: dividimos numerador e denominador por 3 para obter \dfrac{4}{5\sqrt{3}}.

Passo 7

Agora precisamos decidir em qual intervalo entre as alternativas fica \theta. Observação útil: em [0,\pi] a função \cos é estritamente decrescente, então comparar valores de cosseno é equivalente a comparar ângulos inversamente (maior cosseno => menor ângulo). Vamos comparar \cos\theta=\dfrac{4}{5\sqrt{3}} com os cossenos das fronteiras relevantes das alternativas.
Primeiro compare com \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}. Queremos saber se \dfrac{4}{5\sqrt{3}}<\dfrac{1}{2} ou \ge\dfrac{1}{2}. Faça a comparação sem calculadora:
\frac{4}{5\sqrt{3}}<\frac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 8<5\sqrt{3}.
Agora elevamos ao quadrado ambos os lados (operações válidas pois ambos são positivos):
8^2<(5\sqrt{3})^2\quad\Longleftrightarrow\quad 64<25\cdot 3=75.
Isso é verdadeiro, logo \dfrac{4}{5\sqrt{3}}<\dfrac{1}{2}. Como \cos é decrescente, isso implica
\theta>\frac{\pi}{3}.

Passo 8

Compare com \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0. Observe que \dfrac{4}{5\sqrt{3}}>0 porque todos os termos são positivos, logo \cos\theta>0 e, pela decrescência de \cos em [0,\pi], temos
\theta<\frac{\pi}{2}.

Passo 9

Juntando os dois resultados dos passos anteriores, obtemos
\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}.
A alternativa (D) é \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2. Nosso intervalo estrito cai dentro dessa alternativa. Portanto a alternativa correta é (D).

Resposta

(D)

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