O enunciado pede que identifiquemos o ângulo \theta entre os vetores (4,-4,2,-3) e (3,1,-1,-2) em \mathbb{R}^{4} e escolha o intervalo correto entre as alternativas dadas.
Informações dadas: os dois vetores são \mathbf{u}=(4,-4,2,-3) e \mathbf{v}=(3,1,-1,-2).
Pergunta explícita: qual é o intervalo (A)–(H) que contém o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v}?
Passo 2
Ferramenta principal (fórmula que vamos usar). Para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^n o produto interno (ou produto escalar) é
Explicando em palavras: calcule o produto componente a componente, some; calcule as normas somando quadrados e tirando raiz; divida o produto escalar pelo produto das normas para obter \cos\theta; por fim, recupere o intervalo de \theta usando a monotonicidade de \cos em [0,\pi].
Passo 3
Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Usando os componentes dados:
Expliquei a simplificação: dividimos numerador e denominador por 3 para obter \dfrac{4}{5\sqrt{3}}.
Passo 7
Agora precisamos decidir em qual intervalo entre as alternativas fica \theta. Observação útil: em [0,\pi] a função \cos é estritamente decrescente, então comparar valores de cosseno é equivalente a comparar ângulos inversamente (maior cosseno => menor ângulo). Vamos comparar \cos\theta=\dfrac{4}{5\sqrt{3}} com os cossenos das fronteiras relevantes das alternativas.
Primeiro compare com \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}. Queremos saber se \dfrac{4}{5\sqrt{3}}<\dfrac{1}{2} ou \ge\dfrac{1}{2}. Faça a comparação sem calculadora:
Isso é verdadeiro, logo \dfrac{4}{5\sqrt{3}}<\dfrac{1}{2}. Como \cos é decrescente, isso implica
\theta>\frac{\pi}{3}.
Passo 8
Compare com \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0. Observe que \dfrac{4}{5\sqrt{3}}>0 porque todos os termos são positivos, logo \cos\theta>0 e, pela decrescência de \cos em [0,\pi], temos
\theta<\frac{\pi}{2}.
Passo 9
Juntando os dois resultados dos passos anteriores, obtemos
\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}.
A alternativa (D) é \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2. Nosso intervalo estrito cai dentro dessa alternativa. Portanto a alternativa correta é (D).