Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3} \text { : }
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(D) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(E) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(F) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.

Passo 1

Dados do enunciado:
  • \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} é um conjunto linearmente dependente.
  • \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} é um conjunto linearmente independente.
  • Existe (ou pretende-se existir) uma matriz A de ordem 3\times3 tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
Pergunta: qual das alternativas (A)–(F) é correta dado o enunciado?

Passo 2

Definições básicas (explicadas devagar):
  • Conjunto linearmente dependente significa que existem escalares c_{1},c_{2},c_{3}, nem todos zero, tais que
c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0}.
Digo “nem todos zero” porque se todos fossem zero a relação seria trivial e isso corresponde a independência linear.
  • Conjunto linearmente independente significa que se
d_{1}\vec{b}_{1}+d_{2}\vec{b}_{2}+d_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}
então necessariamente d_{1}=d_{2}=d_{3}=0. Em outras palavras, não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero.

Passo 3

Propriedade da transformação linear dada por uma matriz:
  • Se A é uma matriz 3\times3, ela é uma transformação linear, isto é, para quaisquer escalares t_{1},t_{2},t_{3} e vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} vale
A\bigl(t_{1}\vec{v}_{1}+t_{2}\vec{v}_{2}+t_{3}\vec{v}_{3}\bigr)=t_{1}A\vec{v}_{1}+t_{2}A\vec{v}_{2}+t_{3}A\vec{v}_{3}.
Vou usar essa propriedade para levar relações entre os \vec{x}_{i} para relações entre os \vec{b}_{i}.

Passo 4

Use a dependência linear dos \vec{x}_{i}:
Como \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é linearmente dependente, existem escalares c_{1},c_{2},c_{3}, nem todos zero, com
c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0}.

Passo 5

Aplique A à relação acima e use linearidade:
A\bigl(c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}\bigr)=c_{1}A\vec{x}_{1}+c_{2}A\vec{x}_{2}+c_{3}A\vec{x}_{3}.
Pelas igualdades dadas no enunciado isso vira
c_{1}\vec{b}_{1}+c_{2}\vec{b}_{2}+c_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}.

Passo 6

Contradição com a independência dos \vec{b}_{i}:
  • A última igualdade diz que há uma combinação linear não trivial dos \vec{b}_{i} que dá zero (porque escolhemos c_{i} nem todos zero).
  • Isso contraria a hipótese de que \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é linearmente independente (que exige que apenas a combinação trivial dê zero).
  • Portanto a suposição inicial — que existe uma matriz A tal que A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i} para i=1,2,3 — leva a uma contradição.

Passo 7

Conclusão lógica:
  • Não pode existir uma matriz A com as propriedades pedidas, porque tal A transformaria uma relação linear não trivial entre os \vec{x}_{i} numa relação linear não trivial entre os \vec{b}_{i}, contradizendo a independência dos \vec{b}_{i}.
  • Logo a única alternativa correta é afirmar que não existe tal A.

Resposta

(E)

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