Q8: Sejam
um conjunto LD e
um conjunto LI. Suponha
uma matriz
tal que:
(A) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(C) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(D) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(E) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(F) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal
(C) Pode-se afirmar que
(D) Pode-se afirmar que
(E) Pode-se afirmar que não existe tal
(F) Pode-se afirmar que
Passo 1
Dados do enunciado:
-
é um conjunto linearmente dependente. -
é um conjunto linearmente independente. - Existe (ou pretende-se existir) uma matriz
de ordem tal que
Pergunta: qual das alternativas (A)–(F) é correta dado o enunciado?
Passo 2
Definições básicas (explicadas devagar):
- Conjunto linearmente dependente significa que existem escalares
, nem todos zero, tais que
Digo “nem todos zero” porque se todos fossem zero a relação seria trivial e isso corresponde a independência linear.
- Conjunto linearmente independente significa que se
então necessariamente
. Em outras palavras, não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero.
Passo 3
Propriedade da transformação linear dada por uma matriz:
- Se
é uma matriz , ela é uma transformação linear, isto é, para quaisquer escalares e vetores vale
Vou usar essa propriedade para levar relações entre os
para relações entre os
.
Passo 4
Use a dependência linear dos
:
Como é linearmente dependente, existem escalares
, nem todos zero, com
Como
Passo 5
Aplique
à relação acima e use linearidade:
Pelas igualdades dadas no enunciado isso vira
Passo 6
Contradição com a independência dos
:
- A última igualdade diz que há uma combinação linear não trivial dos
que dá zero (porque escolhemos nem todos zero). - Isso contraria a hipótese de que
é linearmente independente (que exige que apenas a combinação trivial dê zero). - Portanto a suposição inicial — que existe uma matriz
tal que para — leva a uma contradição.
Passo 7
Conclusão lógica:
- Não pode existir uma matriz
com as propriedades pedidas, porque tal transformaria uma relação linear não trivial entre os numa relação linear não trivial entre os , contradizendo a independência dos . - Logo a única alternativa correta é afirmar que não existe tal
.
Resposta
(E)