Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
R é uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240^\circ.
T é a reflexão através do eixo x (ou seja, espelhamento sobre o eixo x).
O que se pede:
Determinar a matriz que representa a transformação composta T\circ R (vou escrever simplesmente TR para a composição).
Informações relevantes dadas:
Ângulo da rotação: 240^\circ.
Reflexão no eixo x: troca o sinal da coordenada y e mantém a coordenada x.
Passo 2
Recordando a fórmula da matriz de rotação: para um ângulo genérico \theta (medido no sentido anti-horário), a matriz de rotação R_\theta em coordenadas canônicas é
T R=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]
Passo 8
Verificação alternativa (confirmação rápida usando vetores base): aplicar R e depois T em e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
R(e_1)=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}, então T(R(e_1))=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} — primeira coluna de TR.
R(e_2)=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, então T(R(e_2))=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} — segunda coluna de TR.
Esses vetores confirmam a matriz encontrada.]