Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
  • R é uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240^\circ.
  • T é a reflexão através do eixo x (ou seja, espelhamento sobre o eixo x).
O que se pede:
  • Determinar a matriz que representa a transformação composta T\circ R (vou escrever simplesmente TR para a composição).
Informações relevantes dadas:
  • Ângulo da rotação: 240^\circ.
  • Reflexão no eixo x: troca o sinal da coordenada y e mantém a coordenada x.

Passo 2

Recordando a fórmula da matriz de rotação: para um ângulo genérico \theta (medido no sentido anti-horário), a matriz de rotação R_\theta em coordenadas canônicas é
R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \theta é o ângulo de rotação (em radianos ou graus, desde que se calcule \cos\theta e \sin\theta corretamente).
  • A primeira coluna \begin{pmatrix}\cos\theta\\\ \sin\theta\end{pmatrix} é a imagem de e_1=(1,0).
  • A segunda coluna \begin{pmatrix}-\sin\theta\\\ \cos\theta\end{pmatrix} é a imagem de e_2=(0,1).]

Passo 3

Calcular \cos e \sin para \theta=240^\circ.
Observação: 240^\circ=180^\circ+60^\circ. Usando identidades:
\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\tfrac{1}{2}, \qquad \sin(180^\circ+60^\circ)=-\sin 60^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Substituindo em R_\theta com \theta=240^\circ, obtemos a matriz de R:
R=\begin{pmatrix}\cos 240^\circ & -\sin 240^\circ\\[4pt] \sin 240^\circ & \cos 240^\circ\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Matriz da reflexão T através do eixo x: essa reflexão mantém a coordenada x e inverte o sinal de y. Assim a matriz (na base canônica) é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Explicação intuítiva: T(1,0)=(1,0) e T(0,1)=(0,-1), por isso as colunas são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Matriz da composição TR: para aplicações lineares, a matriz da composição é o produto das matrizes correspondentes, com a ordem correta:
\text{mat}(TR)=T\cdot R.
(Observação sobre ordem: R age primeiro no vetor, depois T age no resultado, por isso multiplicamos T à esquerda de R.)

Passo 7

Fazer a multiplicação T\cdot R explicitamente:
T\cdot R= \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Multiplicando linha por coluna, a primeira linha do produto é igual à primeira linha de R (porque a primeira linha de T é (1,0)):
\text{primeira linha} = \bigl(1\cdot(-\tfrac{1}{2})+0\cdot(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}),\; 1\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+0\cdot(-\tfrac{1}{2})\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{2},\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
A segunda linha do produto é a segunda linha de T (que é (0,-1)) aplicada a R, ou seja, a negativa da segunda linha de R:
\text{segunda linha} = \bigl(0\cdot(-\tfrac{1}{2})+(-1)\cdot(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}),\; 0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+(-1)\cdot(-\tfrac{1}{2})\bigr)=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;\tfrac{1}{2}\bigr).
Portanto
T R=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação alternativa (confirmação rápida usando vetores base): aplicar R e depois T em e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
  • R(e_1)=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}, então T(R(e_1))=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} — primeira coluna de TR.
  • R(e_2)=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, então T(R(e_2))=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} — segunda coluna de TR.
    Esses vetores confirmam a matriz encontrada.]

Resposta

(E)

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