Q8: Sejam
um conjunto LI e
um conjunto LD. Com relação a uma matriz
que satisfizesse as condições abaixo,
(A) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(B) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(C) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(E) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(F) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(B) Pode-se afirmar que
(C) Pode-se afirmar que não existe tal
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal
(E) Pode-se afirmar que
(F) Pode-se afirmar que
Passo 1
O enunciado dá claramente estas informações:
- Temos
que é um conjunto linearmente independente. - Temos
que é um conjunto linearmente dependente. - Procura-se a veracidade das alternativas (A)–(F) a respeito de uma matriz
que satisfaça
O que o problema pede: decidir qual das alternativas é correta, usando apenas os dados acima.
Passo 2
Mostrar que existe (e é única) uma matriz
que envia os
nos
.
Construção explícita (método prático que você pode usar na prova). Forme as matrizes cujas colunas são os vetores dados:
Cada coluna de
é um
. Como
é LI em
, a matriz
é invertível (explicando: colunas LI
determinante
inversa existe). Se
satisfaz
para
, isso é exatamente a mesma coisa que a igualdade matricial
Multiplicando à direita por
(que existe), obtemos a expressão construtiva e única
Portanto existe tal
e ele é único (não existem duas matrizes diferentes com as mesmas imagens dos três vetores da base). Isso elimina imediatamente as alternativas que dizem que não existe
ou que não se pode afirmar se existe.
Passo 3
Interpretação da linearidade dependente dos
e consequência para
.
Como
é linearmente dependente, existem escalares não todos nulos
tais que
Escrevendo isso matricialmente, com
, temos
Usando
(de
), segue
Como
é invertível e
, o vetor
satisfaz
e
. Ou seja,
possui um núcleo (espaço nulo) não trivial. Em linguagem curta:
não é injetora, logo
e
é singular (não-inversível).
Passo 4
Consequências para o sistema
.
Propriedades gerais que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Se
é singular (tem núcleo não trivial), então se existe uma solução particular para , qualquer vetor da forma com também é solução. Como contém vetores não nulos, isso transforma uma solução em infinitas soluções. Logo, para tal , inexistem soluções únicas: ou não há solução, ou há infinitas. - Além disso, porque
(já que é singular), a imagem (coluna-espaço) de é um subespaço próprio de (dimensão no máximo ). Portanto existem vetores que não pertencem à imagem de — para esses o sistema não tem solução. Em resumo: existem sem solução, e quando existe solução ela nunca é única (é infinita).
Passo 5
Avaliação das alternativas usando os resultados acima. Vou verificar uma-a-uma:
-
(A) “Não tem solução para certos
, mas quando existe solução ela é única.” — A primeira parte está correta (existem sem solução), mas a segunda parte é falsa: quando existe solução ela não é única (há infinitas). Logo (A) é falsa. -
(B) “Tem solução única para qualquer
.” — Isso equivaleria a invertível; sabemos que é singular, logo (B) é falsa. -
(C) “Não existe tal
.” — Já construímos , logo existe; (C) é falsa. -
(D) “Não se pode afirmar se existe ou não tal
.” — Pelo mesmo motivo, podemos afirmar que existe e é único; (D) é falsa. -
(E) “Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja .” — Isto quer dizer: para todo , o sistema não possui solução única (isto é, nunca há exatamente uma solução). Como mostramos, , então é impossível haver exatamente uma solução: ou nenhuma ou infinitas. Portanto (E) é verdadeira. -
(F) “Tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.” — A primeira parte é falsa: nem todo está na imagem de . Logo (F) é falsa.
Passo 6
Conclusão final: a única alternativa correta é a (E). (Resumo mental simpático: os
formam uma base, então existe e é único o mapa linear que manda essa base nos
; como os
são dependentes, o mapa fica singular — daí nunca pode haver exatamente uma solução para
.)
Resposta
(E)