Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD. Com relação a uma matriz A 3 \times 3 que satisfizesse as condições abaixo,
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(C) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(F) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.

Passo 1

O enunciado dá claramente estas informações:
  • Temos \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente independente.
  • Temos \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente dependente.
  • Procura-se a veracidade das alternativas (A)–(F) a respeito de uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} que satisfaça
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
O que o problema pede: decidir qual das alternativas é correta, usando apenas os dados acima.

Passo 2

Mostrar que existe (e é única) uma matriz A que envia os \vec{x}_{i} nos \vec{b}_{i}.
Construção explícita (método prático que você pode usar na prova). Forme as matrizes cujas colunas são os vetores dados:
X=\big[\vec{x}_{1}\\ \vec{x}_{2}\\ \vec{x}_{3}\big],\qquad B=\big[\vec{b}_{1}\\ \vec{b}_{2}\\ \vec{b}_{3}\big].
Cada coluna de X é um \vec{x}_{i}. Como \{\vec{x}_{i}\} é LI em \mathbb{R}^{3}, a matriz X é invertível (explicando: colunas LI \Rightarrow determinante \neq0 \Rightarrow inversa existe). Se A satisfaz A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i} para i=1,2,3, isso é exatamente a mesma coisa que a igualdade matricial
A X = B.
Multiplicando à direita por X^{-1} (que existe), obtemos a expressão construtiva e única
A = B X^{-1}.
Portanto existe tal A e ele é único (não existem duas matrizes diferentes com as mesmas imagens dos três vetores da base). Isso elimina imediatamente as alternativas que dizem que não existe A ou que não se pode afirmar se existe.

Passo 3

Interpretação da linearidade dependente dos \vec{b}_{i} e consequência para A.
Como \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é linearmente dependente, existem escalares não todos nulos c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}\vec{b}_{1}+c_{2}\vec{b}_{2}+c_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}.
Escrevendo isso matricialmente, com c=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T}, temos
B c=\vec{0}.
Usando B=A X (de A X=B), segue
A (X c)=B c=\vec{0}.
Como X é invertível e c\neq\vec{0}, o vetor v:=X c satisfaz v\neq\vec{0} e A v=\vec{0}. Ou seja, A possui um núcleo (espaço nulo) não trivial. Em linguagem curta: A não é injetora, logo \det(A)=0 e A é singular (não-inversível).

Passo 4

Consequências para o sistema A\vec{x}=\vec{b}.
Propriedades gerais que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Se A é singular (tem núcleo não trivial), então se existe uma solução particular \vec{x}_{p} para A\vec{x}=\vec{b}, qualquer vetor da forma \vec{x}_{p}+\vec{w} com \vec{w}\in\ker(A) também é solução. Como \ker(A) contém vetores não nulos, isso transforma uma solução em infinitas soluções. Logo, para tal A, inexistem soluções únicas: ou não há solução, ou há infinitas.
  • Além disso, porque \operatorname{rank}(A)<3 (já que A é singular), a imagem (coluna-espaço) de A é um subespaço próprio de \mathbb{R}^{3} (dimensão no máximo 2). Portanto existem vetores \vec{b}\in\mathbb{R}^{3} que não pertencem à imagem de A — para esses \vec{b} o sistema não tem solução. Em resumo: existem \vec{b} sem solução, e quando existe solução ela nunca é única (é infinita).

Passo 5

Avaliação das alternativas usando os resultados acima. Vou verificar uma-a-uma:
  • (A) “Não tem solução para certos \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.” — A primeira parte está correta (existem \vec{b} sem solução), mas a segunda parte é falsa: quando existe solução ela não é única (há infinitas). Logo (A) é falsa.
  • (B) “Tem solução única para qualquer \vec{b}.” — Isso equivaleria a A invertível; sabemos que A é singular, logo (B) é falsa.
  • (C) “Não existe tal A.” — Já construímos A=B X^{-1}, logo existe; (C) é falsa.
  • (D) “Não se pode afirmar se existe ou não tal A.” — Pelo mesmo motivo, podemos afirmar que existe e é único; (D) é falsa.
  • (E) “Pode-se afirmar que A\vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.” — Isto quer dizer: para todo \vec{b}, o sistema não possui solução única (isto é, nunca há exatamente uma solução). Como mostramos, \ker(A)\neq\{\vec{0}\}, então é impossível haver exatamente uma solução: ou nenhuma ou infinitas. Portanto (E) é verdadeira.
  • (F) “Tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.” — A primeira parte é falsa: nem todo \vec{b} está na imagem de A. Logo (F) é falsa.

Passo 6

Conclusão final: a única alternativa correta é a (E). (Resumo mental simpático: os \vec{x}_i formam uma base, então existe e é único o mapa linear que manda essa base nos \vec{b}_i; como os \vec{b}_i são dependentes, o mapa fica singular — daí nunca pode haver exatamente uma solução para A\vec{x}=\vec{b}.)

Resposta

(E)

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