Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-3)=(1,1,-2) e T(1,-4)=(3,0,-3). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
e, especificamente, o valor da entrada a_{12} (linha 1, coluna 2) de A.]
Passo 2
Lembrete prático: a matriz A de uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 escrita na base canônica tem duas colunas — a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2), onde
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Se escrevemos
A=\big[\,v_1\;\;v_2\,\big],
então para quaisquer (x,y) vale
T(x,y)=x\,v_1+y\,v_2.
Em particular, para os vetores fornecidos obtemos duas equações vetoriais envolvendo v_1 e v_2.
Passo 3
Escrever as equações fornecidas em termos de v_1 e v_2: