Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-3)=(1,1,-2) e T(1,-4)=(3,0,-3). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá duas imagens de vetores por T:
T(1,-3)=(1,1,-2), \qquad T(1,-4)=(3,0,-3).
Pede-se determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\left[\begin{array}{l}x\\[4pt]y\end{array}\right],
e, especificamente, o valor da entrada a_{12} (linha 1, coluna 2) de A.]

Passo 2

Lembrete prático: a matriz A de uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 escrita na base canônica tem duas colunas — a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2), onde
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Se escrevemos
A=\big[\,v_1\;\;v_2\,\big],
então para quaisquer (x,y) vale
T(x,y)=x\,v_1+y\,v_2.
Em particular, para os vetores fornecidos obtemos duas equações vetoriais envolvendo v_1 e v_2.

Passo 3

Escrever as equações fornecidas em termos de v_1 e v_2:
T(1,-3)=1\cdot v_1+(-3)\cdot v_2=v_1-3v_2=(1,1,-2),
T(1,-4)=v_1-4v_2=(3,0,-3).
Temos, portanto, o sistema vetorial
\begin{cases} v_1-3v_2=(1,1,-2),\\[4pt] v_1-4v_2=(3,0,-3). \end{cases}]

Passo 4

Subtrair a segunda equação da primeira para eliminar v_1 e obter v_2:
(v_1-3v_2)-(v_1-4v_2)=v_2=(1,1,-2)-(3,0,-3).
Calcular a diferença coordenada a coordenada:
(1-3,\;1-0,\;-2-(-3)) = (-2,\;1,\;1).
Logo
v_2 = (-2,1,1).

Passo 5

Agora achar v_1 usando v_1-3v_2=(1,1,-2). Reescrevendo:
v_1=(1,1,-2)+3v_2.
Substituir v_2=(-2,1,1):
3v_2=3\cdot(-2,1,1)=(-6,3,3).
Somar coordenadas:
v_1=(1-6,\;1+3,\;-2+3)=(-5,\;4,\;1).

Passo 6

Montar a matriz A cujas colunas são v_1 e v_2:
A=\begin{pmatrix} -5 & -2\\[4pt] 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

A entrada pedida é a_{12}, ou seja a entrada da linha 1, coluna 2 da matriz A. Observando A,
a_{12}=-2.
Isso corresponde à alternativa (G).

Resposta

(G) -2

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