Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(3,0,-1,0),(0,0,1,-3),(6,0,-4,6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,1,12,4),(-2,2,4,4)\}
(B) \{(4,3,2,2)\}
(C) \{(4,1,12,4)\}
(D) \{(1,2,3,1)\}
(E) \{(4,3,2,2),(-2,2,4,4)\}
(F) \{(4,3,2,2),(1,2,3,1)\}
(G) \{(-2,2,4,4)\}
(H) \{(4,1,12,4),(1,2,3,1)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^{4} definido por
H=\operatorname{span}\{(3,0,-1,0),(0,0,1,-3),(6,0,-4,6)\}.
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Informações relevantes fornecidas:
  • Geradores de H: v_1=(3,0,-1,0), v_2=(0,0,1,-3), v_3=(6,0,-4,6).
  • Precisamos encontrar todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 tais que x é ortogonal a todo vetor de H; isto é, x\cdot v_i=0 para cada i.
    A resolução real começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro vamos ver se os três geradores são linearmente independentes ou não (isso diz a dimensão de H e, por consequência, a dimensão de H^{\perp}). Calcular combinação linear entre v_1,v_2,v_3.
Verifiquemos uma relação entre eles: calcule 2v_1-2v_2.
2v_1-2v_2 = 2(3,0,-1,0)-2(0,0,1,-3) = (6,0,-2,0)-(0,0,2,-6)=(6,0,-4,6).
Como 2v_1-2v_2=v_3, o vetor v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Portanto os três geradores não são independentes.

Passo 3

Da relação do passo anterior concluímos que
H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\} \quad\text{com } v_1=(3,0,-1,0),\; v_2=(0,0,1,-3).
Assim \dim(H)=2. Em \mathbb{R}^4 vale a identidade
\dim(H)+\dim(H^{\perp})=4,
logo \dim(H^{\perp})=4-2=2. Portanto H^{\perp} é um subespaço de dimensão 2: qualquer base de H^{\perp} deve ter exatamente dois vetores linearmente independentes.

Passo 4

Para achar H^{\perp} resolvemos as equações de ortogonalidade para um vetor genérico x=(x_1,x_2,x_3,x_4). Precisamos de
x\cdot v_1=0,\qquad x\cdot v_2=0.
Escrevendo essas igualdades:
x\cdot v_1 = 3x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)x_3 + 0\cdot x_4 = 3x_1 - x_3 = 0,
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 + (-3)x_4 = x_3 - 3x_4 = 0.

Passo 5

Vamos resolver o sistema
\begin{cases} 3x_1 - x_3 = 0,\\[4pt] x_3 - 3x_4 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_3=3x_1. Da segunda vem x_3=3x_4. Igualando os dois resultados para x_3:
3x_1 = 3x_4 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_4.
Portanto as coordenadas ficam com uma liberdade em x_1 e outra em x_2 (pois x_2 não aparece nas equações). Escrevendo em parâmetros t=x_1 e s=x_2, obtemos o vetor geral de H^{\perp}:
x=(x_1,x_2,x_3,x_4) = (t,\,s,\,3t,\,t) = t(1,0,3,1) + s(0,1,0,0).]

Passo 6

Da forma geral acima segue diretamente que uma base natural de H^{\perp} é
\{(1,0,3,1),\; (0,1,0,0)\},
pois esses dois vetores são claramente independentes e geram todo H^{\perp}. Qualquer outro par de vetores será base de H^{\perp} se e só se os dois vetores estiverem em H^{\perp} e forem linearmente independentes.

Passo 7

Como \dim(H^{\perp})=2, qualquer opção que contenha apenas um vetor não pode ser base (eliminamos imediatamente as opções \text{(B),\text{(C)},(D),(G)}). Restam as opções com dois vetores: (A), (E), (F) e (H). Vamos verificar quais desses pares contêm vetores que satisfazem a forma (t,s,3t,t).
Regra prática (extraída do passo 5): um vetor (x_1,x_2,x_3,x_4) pertence a H^{\perp} se e somente se
x_3 = 3x_1\quad\text{e}\quad x_4 = x_1.

Passo 8

Verificação opção (A): vetores (4,1,12,4) e (-2,2,4,4).
  • Para (4,1,12,4): x_3=12=3\cdot4 e x_4=4=x_1. Então este vetor está em H^{\perp}.
  • Para (-2,2,4,4): x_3=4 deve ser 3x_1=3\cdot(-2)=-6, o que não vale; logo este vetor NÃO está em H^{\perp}.
    Portanto a opção (A) falha (um dos vetores não é ortogonal a H).
Verificação opção (E): vetores (4,3,2,2) e (-2,2,4,4).
  • Para (4,3,2,2): x_3=2 deveria ser 3\cdot4=12, não é; portanto não está em H^{\perp}.
  • Para (-2,2,4,4): já vimos que também não está.
    Logo (E) falha.
Verificação opção (F): vetores (4,3,2,2) e (1,2,3,1).
  • (1,2,3,1): x_3=3=3\cdot1 e x_4=1=x_1, está em H^{\perp}.
  • (4,3,2,2): não satisfaz x_3=3x_1 (pois 2\neq 12), logo não está.
    Portanto (F) falha.
Verificação opção (H): vetores (4,1,12,4) e (1,2,3,1).
  • (4,1,12,4): já verificamos que está em H^{\perp}.
  • (1,2,3,1): já verificamos que está em H^{\perp}.
    Agora precisamos checar se esses dois vetores são linearmente independentes. Observe que, usando a base do passo 6,
(1,2,3,1) = 1\cdot(1,0,3,1) + 2\cdot(0,1,0,0),
(4,1,12,4) = 4\cdot(1,0,3,1) + 1\cdot(0,1,0,0).
As coordenadas relativas à base \{(1,0,3,1),(0,1,0,0)\} são (1,2) e (4,1); a matriz de coordenadas \begin{pmatrix}1&4\\\ 2&1\end{pmatrix} tem determinante 1\cdot1-4\cdot2=1-8=-7\neq0. Logo esses dois vetores são linearmente independentes e geram H^{\perp}.
Portanto a opção (H) descreve um par de vetores em H^{\perp} que são independentes, ou seja, formam uma base de H^{\perp}.

Resposta

(H)

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