Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
definido por
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
)?
Informações relevantes fornecidas:
- Geradores de
: , , . - Precisamos encontrar todos os vetores
tais que é ortogonal a todo vetor de ; isto é, para cada .
A resolução real começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro vamos ver se os três geradores são linearmente independentes ou não (isso diz a dimensão de
e, por consequência, a dimensão de
). Calcular combinação linear entre
.
Verifiquemos uma relação entre eles: calcule
.
Como
, o vetor
é combinação linear de
e
. Portanto os três geradores não são independentes.
Passo 3
Da relação do passo anterior concluímos que
Assim
. Em
vale a identidade
logo
. Portanto
é um subespaço de dimensão
: qualquer base de
deve ter exatamente dois vetores linearmente independentes.
Passo 4
Para achar
resolvemos as equações de ortogonalidade para um vetor genérico
. Precisamos de
Escrevendo essas igualdades:
Passo 5
Vamos resolver o sistema
Da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Igualando os dois resultados para
:
Portanto as coordenadas ficam com uma liberdade em
e outra em
(pois
não aparece nas equações). Escrevendo em parâmetros
e
, obtemos o vetor geral de
:
Passo 6
Da forma geral acima segue diretamente que uma base natural de
é
pois esses dois vetores são claramente independentes e geram todo
. Qualquer outro par de vetores será base de
se e só se os dois vetores estiverem em
e forem linearmente independentes.
Passo 7
Como
, qualquer opção que contenha apenas um vetor não pode ser base (eliminamos imediatamente as opções
). Restam as opções com dois vetores: (A), (E), (F) e (H). Vamos verificar quais desses pares contêm vetores que satisfazem a forma
.
Regra prática (extraída do passo 5): um vetor
pertence a
se e somente se
Passo 8
Verificação opção (A): vetores
e
.
- Para
: e . Então este vetor está em . - Para
: deve ser , o que não vale; logo este vetor NÃO está em .
Portanto a opção (A) falha (um dos vetores não é ortogonal a).
Verificação opção (E): vetores
e
.
- Para
: deveria ser , não é; portanto não está em . - Para
: já vimos que também não está.
Logo (E) falha.
Verificação opção (F): vetores
e
.
-
: e , está em . -
: não satisfaz (pois ), logo não está.
Portanto (F) falha.
Verificação opção (H): vetores
e
.
-
: já verificamos que está em . -
: já verificamos que está em .
Agora precisamos checar se esses dois vetores são linearmente independentes. Observe que, usando a base do passo 6,
As coordenadas relativas à base
são
e
; a matriz de coordenadas
tem determinante
. Logo esses dois vetores são linearmente independentes e geram
.
Portanto a opção (H) descreve um par de vetores em
que são independentes, ou seja, formam uma base de
.
Resposta
(H)