Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210^\circ.
Uma reflexão T através do eixo y (isto é, envia (x,y) em (-x,y)).
O que é pedido:
Encontrar a matriz que representa a composição T R (isto é, primeiro aplicar R, depois aplicar T) e escolher entre as alternativas (A) a (H).
Informações relevantes fornecidas:
Ângulo da rotação: 210^\circ.
Reflexão através do eixo y: efeito geométrico conhecido (troca de sinal da coordenada x).
As alternativas são matrizes 2\times2 com entradas envolvendo \frac{\sqrt{3}}{2} e \frac{1}{2}.
Passo 2
Recordando a fórmula da matriz de rotação: a rotação no plano por um ângulo \theta no sentido anti-horário tem matriz, na base canônica,
Aqui \theta=210^\circ. Vamos calcular \cos210^\circ e \sin210^\circ.]
Passo 3
Usando identidades de ângulos notáveis: 210^\circ=180^\circ+30^\circ. Para 180^\circ+\alpha vale \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha e \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha. Para \alpha=30^\circ temos \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}. Assim: