Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
  • Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210^\circ.
  • Uma reflexão T através do eixo y (isto é, envia (x,y) em (-x,y)).
O que é pedido:
  • Encontrar a matriz que representa a composição T R (isto é, primeiro aplicar R, depois aplicar T) e escolher entre as alternativas (A) a (H).
Informações relevantes fornecidas:
  • Ângulo da rotação: 210^\circ.
  • Reflexão através do eixo y: efeito geométrico conhecido (troca de sinal da coordenada x).
  • As alternativas são matrizes 2\times2 com entradas envolvendo \frac{\sqrt{3}}{2} e \frac{1}{2}.

Passo 2

Recordando a fórmula da matriz de rotação: a rotação no plano por um ângulo \theta no sentido anti-horário tem matriz, na base canônica,
R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}.
Aqui \theta=210^\circ. Vamos calcular \cos210^\circ e \sin210^\circ.]

Passo 3

Usando identidades de ângulos notáveis: 210^\circ=180^\circ+30^\circ. Para 180^\circ+\alpha vale \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha e \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha. Para \alpha=30^\circ temos \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}. Assim:
\cos210^\circ = -\cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin210^\circ = -\sin30^\circ = -\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora escrevemos a matriz de rotação R para 210^\circ substituindo os valores:
R = R(210^\circ) = \begin{bmatrix}\cos210^\circ & -\sin210^\circ\\[4pt]\sin210^\circ & \cos210^\circ\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr)\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 5

A reflexão T através do eixo y age como T(x,y)=(-x,y). Na base canônica isso tem a matriz
T=\begin{bmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{bmatrix}.]

Passo 6

A composição T R corresponde à multiplicação matricial T\cdot R (primeiro aplicar R, depois T). Vamos multiplicar:
T R = \begin{bmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}.
Calculemos entrada a entrada:
  • Entrada (1,1): -1\cdot\bigl(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) + 0\cdot\bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Entrada (1,2): -1\cdot\dfrac{1}{2} + 0\cdot\bigl(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = -\dfrac{1}{2}.
  • Entrada (2,1): 0\cdot\bigl(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) + 1\cdot\bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr) = -\dfrac{1}{2}.
  • Entrada (2,2): 0\cdot\dfrac{1}{2} + 1\cdot\bigl(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
T R = \begin{bmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 7

Agora comparamos o resultado obtido com as alternativas fornecidas. A matriz encontrada
\begin{bmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}
corresponde exatamente à alternativa (B).]

Resposta

(B)

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