Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado pelos vetores
Pede-se: qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
)?
Vou usar somente as informações do enunciado acima (os três vetores que geram ).
Vou usar somente as informações do enunciado acima (os três vetores que geram
Passo 2
Primeiro convém checar se os três geradores são linearmente independentes ou não (isso me diz a dimensão de
e, por consequência, a dimensão de
). Faço uma combinação linear simples para ver dependência:
Logo
, ou seja, os três vetores não são independentes e
já geram
. Portanto
Pela fórmula da dimensão em espaços euclidianos,
segue que
Passo 3
Definição prática:
. Como
geram
, basta impor
e
. Escrevo um vetor genérico
e escrevo as equações de ortogonalidade com
e
:
Escrevendo de forma clara:
Passo 4
Resolvo o sistema das duas equações acima. Da primeira vem
Da segunda vem
Igualando as duas expressões para
obtém-se
Portanto as restrições são
e
. A coordenada
não aparece nas equações, então é livre. Posso parametrizar a solução com parâmetros
e
:
Ou seja, todo vetor de
tem a forma
Passo 5
Da parametrização vemos explicitamente que
(coincide com o resultado anterior) e que um par de vetores que gera
é, por exemplo,
Esses dois são linearmente independentes e qualquer vetor de
é combinação linear deles. Portanto qualquer conjunto de dois vetores de
que sejam independentes forma uma base de
.
Passo 6
Agora verifico quais opções contêm vetores que realmente pertencem a
(isto é, satisfaçam
e
) e se formam um par linearmente independente.
- O vetor
tem . Como e , este vetor pertence a . - O vetor
tem . Como e , este também pertence a . - O vetor
tem . Aqui e , logo . - O vetor
tem , não satisfaz , então . - Os conjuntos com um único vetor (opções A, D, F, H) não podem ser base porque
e uma base precisa de 2 vetores. - A opção G é
. Ambos os vetores estão em (ver acima) e não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes num subespaço de dimensão , eles formam uma base de .
Passo 7
Concluo que a opção correta é a que contém precisamente dois vetores pertencentes a
e independentes: a opção G.
Resposta
(G)