Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,0,2,-1),(0,-2,0,1),(0,-4,8,-2)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(-3,3,3,6)\}
(B) \{(-3,3,3,6),(-4,2,4,2)\}
(C) \{(3,2,-2,2),(-4,2,4,2)\}
(D) \{(-4,2,4,2)\}
(E) \{(3,2,-2,2),(-1,2,2,4)\}
(F) \{(3,2,-2,2)\}
(G) \{(-3,3,3,6),(-1,2,2,4)\}
(H) \{(-1,2,2,4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
v_1=(0,0,2,-1),\qquad v_2=(0,-2,0,1),\qquad v_3=(0,-4,8,-2).
Pede-se: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Vou usar somente as informações do enunciado acima (os três vetores que geram H).

Passo 2

Primeiro convém checar se os três geradores são linearmente independentes ou não (isso me diz a dimensão de H e, por consequência, a dimensão de H^{\perp}). Faço uma combinação linear simples para ver dependência:
2v_2 + 4v_1 = 2(0,-2,0,1)+4(0,0,2,-1)=(0,-4,0,2)+(0,0,8,-4)=(0,-4,8,-2)=v_3.
Logo v_3=2v_2+4v_1, ou seja, os três vetores não são independentes e \{v_1,v_2\} já geram H. Portanto
\dim(H)=2.
Pela fórmula da dimensão em espaços euclidianos,
\dim(H)+\dim(H^{\perp})=4,
segue que
\dim(H^{\perp})=2.

Passo 3

Definição prática: H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^4 \mid x\cdot v=0\\ \text{para todo }v\in H\}. Como v_1,v_2 geram H, basta impor x\cdot v_1=0 e x\cdot v_2=0. Escrevo um vetor genérico
x=(x_1,x_2,x_3,x_4)
e escrevo as equações de ortogonalidade com v_1 e v_2:
x\cdot v_1 = 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 2x_3 - x_4 = 0,
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 -2x_2 + 0\cdot x_3 + x_4 = 0.
Escrevendo de forma clara:
2x_3 - x_4 = 0,
-2x_2 + x_4 = 0.

Passo 4

Resolvo o sistema das duas equações acima. Da primeira vem
x_4 = 2x_3.
Da segunda vem
x_4 = 2x_2.
Igualando as duas expressões para x_4 obtém-se
2x_3 = 2x_2 \quad\Rightarrow\quad x_2 = x_3.
Portanto as restrições são x_2=x_3 e x_4=2x_2. A coordenada x_1 não aparece nas equações, então é livre. Posso parametrizar a solução com parâmetros s e t:
x_1 = s,\qquad x_2=t,\qquad x_3=t,\qquad x_4=2t.
Ou seja, todo vetor de H^{\perp} tem a forma
x=(s,t,t,2t)=s(1,0,0,0)+t(0,1,1,2).

Passo 5

Da parametrização vemos explicitamente que \dim(H^{\perp})=2 (coincide com o resultado anterior) e que um par de vetores que gera H^{\perp} é, por exemplo,
e_1=(1,0,0,0),\qquad u=(0,1,1,2).
Esses dois são linearmente independentes e qualquer vetor de H^{\perp} é combinação linear deles. Portanto qualquer conjunto de dois vetores de H^{\perp} que sejam independentes forma uma base de H^{\perp}.

Passo 6

Agora verifico quais opções contêm vetores que realmente pertencem a H^{\perp} (isto é, satisfaçam x_2=x_3 e x_4=2x_2) e se formam um par linearmente independente.
  • O vetor (-3,3,3,6) tem x_2=3,x_3=3,x_4=6. Como 3=3 e 6=2\cdot3, este vetor pertence a H^{\perp}.
  • O vetor (-1,2,2,4) tem x_2=2,x_3=2,x_4=4. Como 2=2 e 4=2\cdot2, este também pertence a H^{\perp}.
  • O vetor (-4,2,4,2) tem x_2=2,x_3=4,x_4=2. Aqui x_3\neq x_2 e x_4\neq 2x_2, logo (-4,2,4,2)\notin H^{\perp}.
  • O vetor (3,2,-2,2) tem x_2=2,x_3=-2, não satisfaz x_2=x_3, então (3,2,-2,2)\notin H^{\perp}.
  • Os conjuntos com um único vetor (opções A, D, F, H) não podem ser base porque \dim(H^{\perp})=2 e uma base precisa de 2 vetores.
  • A opção G é \{(-3,3,3,6),(-1,2,2,4)\}. Ambos os vetores estão em H^{\perp} (ver acima) e não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes num subespaço de dimensão 2, eles formam uma base de H^{\perp}.

Passo 7

Concluo que a opção correta é a que contém precisamente dois vetores pertencentes a H^{\perp} e independentes: a opção G.

Resposta

(G) \{(-3,3,3,6),(-1,2,2,4)\}

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