Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right., 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}, \quad-2 x_{1}-3 x_{2}-3 x_{3}-3 x_{4} ).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 definida por
T\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)=\bigl(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4},\;2x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4},\;-2x_{1}-3x_{2}-3x_{3}-3x_{4}\bigr).
O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T (i.e., o número de vetores linearmente independentes que formam a imagem, também conhecido como posto ou rank de T) e escolher a alternativa correta entre (A) a (E).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}^4.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^3.
  • Fórmula explícita para T (cada componente é uma combinação linear das coordenadas x_1,x_2,x_3,x_4).
  • Opções de resposta (valores possíveis para a dimensão da imagem): 0,1,2,3,4.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para mapear uma transformação linear em números, é conveniente escrever a matriz que representa T na base canônica. A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz (cada coluna é T aplicada a um vetor da base canônica). A dimensão da imagem é o posto (rank) da matriz, isto é, o número de colunas linearmente independentes.
Breve aula sobre conceitos usados:
  • Imagem (ou alcance) de T: \mathrm{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^4\}. É um subespaço de \mathbb{R}^3.
  • Dimensão da imagem = número mínimo de vetores necessários para gerar \mathrm{Im}(T) = número de colunas linearmente independentes da matriz de T.
  • Colunas da matriz de T: são as imagens dos vetores da base canônica e_1,e_2,e_3,e_4.
  • Dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes quando nenhum é múltiplo escalar do outro; para três vetores, teríamos que checar se algum pode ser escrito como combinação linear dos outros, etc.

Passo 3

Escrever a matriz de T na base canônica. Aplicando T aos vetores da base:
  • T(e_1)=T(1,0,0,0)=(1,2,-2).
  • T(e_2)=T(0,1,0,0)=(1,1,-3).
  • T(e_3)=T(0,0,1,0)=(1,1,-3).
  • T(e_4)=T(0,0,0,1)=(1,1,-3).
Logo a matriz A que representa T (linhas = componentes, colunas = imagens de e_j) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 1\\[4pt] -2 & -3 & -3 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Observação imediata sobre as colunas: chamando as colunas de c_1,c_2,c_3,c_4,
c_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix},\qquad c_4=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix}.
Percebe-se que c_2=c_3=c_4. Portanto todas as colunas estão no subespaço gerado por c_1 e c_2. Assim o posto de A é no máximo 2.]

Passo 5

Agora é necessário verificar se c_1\) e \(c_2\) são linearmente independentes (se forem, o posto é exatamente \(2\)). Para testar independência, considere a combinação linear \[\alpha c_1+\beta c_2=0,
que em componentes dá o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] 2\alpha+\beta=0,\\[4pt] -2\alpha-3\beta=0. \end{cases}
Explicando o método: se a única solução for (\alpha=\beta=0], então os vetores são linearmente independentes.]

Passo 6

Resolver o sistema (passo a passo):
Da primeira equação \alpha+\beta=0 segue \beta=-\alpha.
Substituindo na segunda equação 2\alpha+\beta=0
2\alpha+(-\alpha)=\alpha=0.
Logo \alpha=0. Então \beta=-\alpha=0. A terceira equação -2\alpha-3\beta=0 fica 0=0, consistente.
Como a única solução é \alpha=\beta=0, concluímos que c_1 e c_2 são linearmente independentes.

Passo 7

Conclusão intermediária: há exatamente duas colunas linearmente independentes (por exemplo c_1 e c_2), e as demais colunas são combinações dessas. Portanto o posto da matriz A — que é a dimensão da imagem de T — é 2.
Um comentário prático para a prova: ao ver colunas repetidas ou combinações óbvias, conte quantas colunas distintas linearmente independentes aparecem; isso costuma ser mais rápido do que reduzir a matriz totalmente.

Resposta

(C) 2

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