O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T (i.e., o número de vetores linearmente independentes que formam a imagem, também conhecido como posto ou rank de T) e escolher a alternativa correta entre (A) a (E).
Informações relevantes fornecidas:
Domínio: \mathbb{R}^4.
Contradomínio: \mathbb{R}^3.
Fórmula explícita para T (cada componente é uma combinação linear das coordenadas x_1,x_2,x_3,x_4).
Opções de resposta (valores possíveis para a dimensão da imagem): 0,1,2,3,4.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para mapear uma transformação linear em números, é conveniente escrever a matriz que representa T na base canônica. A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz (cada coluna é T aplicada a um vetor da base canônica). A dimensão da imagem é o posto (rank) da matriz, isto é, o número de colunas linearmente independentes.
Breve aula sobre conceitos usados:
Imagem (ou alcance) de T: \mathrm{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^4\}. É um subespaço de \mathbb{R}^3.
Dimensão da imagem = número mínimo de vetores necessários para gerar \mathrm{Im}(T) = número de colunas linearmente independentes da matriz de T.
Colunas da matriz de T: são as imagens dos vetores da base canônica e_1,e_2,e_3,e_4.
Dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes quando nenhum é múltiplo escalar do outro; para três vetores, teríamos que checar se algum pode ser escrito como combinação linear dos outros, etc.
Passo 3
Escrever a matriz de T na base canônica. Aplicando T aos vetores da base:
T(e_1)=T(1,0,0,0)=(1,2,-2).
T(e_2)=T(0,1,0,0)=(1,1,-3).
T(e_3)=T(0,0,1,0)=(1,1,-3).
T(e_4)=T(0,0,0,1)=(1,1,-3).
Logo a matriz A que representa T (linhas = componentes, colunas = imagens de e_j) é
Percebe-se que c_2=c_3=c_4. Portanto todas as colunas estão no subespaço gerado por c_1 e c_2. Assim o posto de A é no máximo 2.]
Passo 5
Agora é necessário verificar se c_1\) e \(c_2\) são linearmente independentes (se forem, o posto é exatamente \(2\)). Para testar independência, considere a combinação linear
\[\alpha c_1+\beta c_2=0,
Explicando o método: se a única solução for (\alpha=\beta=0], então os vetores são linearmente independentes.]
Passo 6
Resolver o sistema (passo a passo):
Da primeira equação \alpha+\beta=0 segue \beta=-\alpha.
Substituindo na segunda equação 2\alpha+\beta=0 dá
2\alpha+(-\alpha)=\alpha=0.
Logo \alpha=0. Então \beta=-\alpha=0. A terceira equação -2\alpha-3\beta=0 fica 0=0, consistente.
Como a única solução é \alpha=\beta=0, concluímos que c_1 e c_2 são linearmente independentes.
Passo 7
Conclusão intermediária: há exatamente duas colunas linearmente independentes (por exemplo c_1 e c_2), e as demais colunas são combinações dessas. Portanto o posto da matriz A — que é a dimensão da imagem de T — é 2.
Um comentário prático para a prova: ao ver colunas repetidas ou combinações óbvias, conte quantas colunas distintas linearmente independentes aparecem; isso costuma ser mais rápido do que reduzir a matriz totalmente.