Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(2,-1,0,0),(0,1,0,-2),(-6,5,0,-4)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,4,2,4)\}
(B) \{(1,2,-4,1)\}
(C) \{(2,3,-2,3)\}
(D) \{(4,8,-3,4)\}
(E) \{(1,2,-4,1),(4,8,-3,4)\}
(F) \{(4,4,2,4),(4,8,-3,4)\}
(G) \{(1,2,-4,1),(2,3,-2,3)\}
(H) \{(4,4,2,4),(2,3,-2,3)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^{4} gerado por três vetores:
v_1=(2,-1,0,0),\qquad v_2=(0,1,0,-2),\qquad v_3=(-6,5,0,-4).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?

Passo 2

Primeiro vou verificar se os vetores geradores de H são linearmente dependentes, para saber \dim H. Procuro escalares a,b tais que
a v_1 + b v_2 = v_3.
Isso dá o sistema coordenada a coordenada:
2a + 0b = -6,
- a + b = 5,
0a + 0b = 0,
0a -2b = -4.
Da primeira equação vem a=-3. Substituindo na segunda:
-(-3)+b=5 \implies 3+b=5 \implies b=2.
A quarta equação dá -2b=-4 que é satisfeita por b=2. Portanto
v_3 = -3 v_1 + 2 v_2,
ou seja, v_3 é combinação linear de v_1 e v_2.

Passo 3

Como v_3 é combinação de v_1 e v_2, os geradores efetivos de H são v_1 e v_2. Supondo que v_1 e v_2 sejam linearmente independentes (o que é claro pois não são múltiplos um do outro), temos \dim H=2. Então
\dim H^{\perp} = 4 - \dim H = 2.
Logo uma base de H^{\perp} precisa ter exatamente 2 vetores linearmente independentes que sejam ortogonais a v_1 e v_2.

Passo 4

Um vetor genérico x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 pertence a H^{\perp} se e somente se for ortogonal a v_1 e a v_2, isto é,
v_1\cdot x = 0,\qquad v_2\cdot x = 0.
Escrevendo as condições:
v_1\cdot x = 2x_1 - x_2 + 0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_1 - x_2 = 0,
v_2\cdot x = 0\cdot x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 -2x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 - 2x_4 = 0.

Passo 5

Resolvo o sistema das duas equações para parametrizar H^{\perp}. Das equações:
2x_1 - x_2 = 0 \implies x_2 = 2x_1,
x_2 - 2x_4 = 0 \implies x_2 = 2x_4.
Comparando, 2x_1 = 2x_4, logo x_1 = x_4. A coordenada x_3 não aparece nas equações, então é livre. Posso tomar parâmetros t e s tais que
x_1 = t,\qquad x_4 = t,\qquad x_2 = 2t,\qquad x_3 = s.
Assim a forma geral de um vetor em H^{\perp} é
x = (t,2t,s,t) = t(1,2,0,1) + s(0,0,1,0).

Passo 6

Da parametrização acima segue que H^{\perp} é o plano gerado por
u=(1,2,0,1)\quad\text{e}\quad w=(0,0,1,0).
Esses vetores são claramente linearmente independentes, logo \{u,w\} é uma base de H^{\perp}. Qualquer base de H^{\perp} deve conter dois vetores do tipo t(1,2,0,1)+s(0,0,1,0) linearmente independentes.

Passo 7

Agora testo as alternativas verificando primeiro se cada vetor está em H^{\perp}. Para um vetor (a,b,c,d) ser ortogonal a v_1 e v_2 basta checar as duas quantidades 2a-b e b-2d serem zero.
  • (A) (4,4,2,4): 2\cdot4-4=4\neq0. Não pertence a H^{\perp}.
  • (B) (1,2,-4,1): 2\cdot1-2=0 e 2-2\cdot1=0. Pertence a H^{\perp}.
  • (C) (2,3,-2,3): 2\cdot2-3=1\neq0. Não pertence.
  • (D) (4,8,-3,4): 2\cdot4-8=0 e 8-2\cdot4=0. Pertence.
  • (E) conjunto \{(1,2,-4,1),(4,8,-3,4)\}: ambos vetores pertencem a H^{\perp}. Falta verificar independência: suponha
\alpha(1,2,-4,1)+\beta(4,8,-3,4)=(0,0,0,0).
Das duas primeiras coordenadas obtemos \alpha +4\beta=0 e 2\alpha+8\beta=0, que são a mesma equação; da terceira coordenada vem -4\alpha -3\beta=0. Das duas primeiras \alpha=-4\beta. Substituindo na terceira: -4(-4\beta)-3\beta=16\beta-3\beta=13\beta=0 então \beta=0 e \alpha=0. Logo são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em H^{\perp} (que tem dimensão 2), formam uma base.
  • (F) contém (4,4,2,4) que já vimos não pertence, logo não pode ser base.
  • (G) contém (2,3,-2,3) que não pertence, logo não é base.
  • (H) contém (4,4,2,4) que não pertence, logo não é base.

Passo 8

Só a alternativa (E) apresenta dois vetores que pertencem a H^{\perp} e são linearmente independentes, portanto (E) é a base procurada.

Resposta

(E)

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