Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores:
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de
(o complemento ortogonal de
)?
Passo 2
Primeiro vou verificar se os vetores geradores de
são linearmente dependentes, para saber
. Procuro escalares
tais que
Isso dá o sistema coordenada a coordenada:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
A quarta equação dá
que é satisfeita por
. Portanto
ou seja,
é combinação linear de
e
.
Passo 3
Como
é combinação de
e
, os geradores efetivos de
são
e
. Supondo que
e
sejam linearmente independentes (o que é claro pois não são múltiplos um do outro), temos
. Então
Logo uma base de
precisa ter exatamente 2 vetores linearmente independentes que sejam ortogonais a
e
.
Passo 4
Um vetor genérico
pertence a
se e somente se for ortogonal a
e a
, isto é,
Escrevendo as condições:
Passo 5
Resolvo o sistema das duas equações para parametrizar
. Das equações:
Comparando,
, logo
. A coordenada
não aparece nas equações, então é livre. Posso tomar parâmetros
e
tais que
Assim a forma geral de um vetor em
é
Passo 6
Da parametrização acima segue que
é o plano gerado por
Esses vetores são claramente linearmente independentes, logo
é uma base de
. Qualquer base de
deve conter dois vetores do tipo
linearmente independentes.
Passo 7
Agora testo as alternativas verificando primeiro se cada vetor está em
. Para um vetor
ser ortogonal a
e
basta checar as duas quantidades
e
serem zero.
- (A)
: . Não pertence a . - (B)
: e . Pertence a . - (C)
: . Não pertence. - (D)
: e . Pertence. - (E) conjunto
: ambos vetores pertencem a . Falta verificar independência: suponha
Das duas primeiras coordenadas obtemos
e
, que são a mesma equação; da terceira coordenada vem
. Das duas primeiras
. Substituindo na terceira:
então
e
. Logo são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em
(que tem dimensão 2), formam uma base.
- (F) contém
que já vimos não pertence, logo não pode ser base. - (G) contém
que não pertence, logo não é base. - (H) contém
que não pertence, logo não é base.
Passo 8
Só a alternativa (E) apresenta dois vetores que pertencem a
e são linearmente independentes, portanto (E) é a base procurada.
Resposta
(E)