Considere V=M_{2}(\mathbb{R}), o espaço das matrizes 2 \times 2 com entradas reais. Defina a adição de matrizes A, B \in V como a adição usual:
A+B=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array}\right) .
No entanto, defina a multiplicação por um escalar c \in \mathbb{R} como:
c A=\left(\begin{array}{cc} c a_{11} & 0 \\\\ 0 & c a_{22} \end{array}\right) .
Verifique se V é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar fornecidas.

Passo 1

O enunciado define em V = M_{2}(\mathbb{R}) a adição usual de matrizes e a multiplicação por escalar
cA = \begin{pmatrix} c\,a_{11} & 0\\\\ 0 & c\,a_{22} \end{pmatrix}.
Queremos verificar se, com essas operações, V satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Iremos agrupar a verificação dos axiomas de adição e dos axiomas envolvendo multiplicação por escalar, focando especialmente no axioma de identidade escalar.

Passo 2

Verificação dos axiomas de adição em V:
  1. Fechamento, comutatividade e associatividade seguem da adição usual em M_{2}(\mathbb{R}).
  2. A matriz nula
0_V = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
é elemento neutro, pois A + 0_V = A.
3. Para cada \displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}
existe inverso aditivo -A=\begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}\\\ -a_{21}&-a_{22}\end{pmatrix}
cumprindo A + (-A)=0_V.
Logo, todos os axiomas de grupo abeliano por adição estão ok.

Passo 3

Verificação das propriedades de compatibilidade e distributividade da multiplicação por escalar:
  1. Distributividade em relação à soma de vetores:
c(A+B) =\begin{pmatrix} c(a_{11}+b_{11})&0\\\ 0&c(a_{22}+b_{22}) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c a_{11}&0\\\ 0&c a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c b_{11}&0\\\ 0&c b_{22} \end{pmatrix} =cA + cB.
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
(c+d)A =\begin{pmatrix} (c+d)a_{11}&0\\\ 0&(c+d)a_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c a_{11}&0\\\ 0&c a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d a_{11}&0\\\ 0&d a_{22} \end{pmatrix} =cA + dA.
  1. Compatibilidade de escalares:
c(dA) =c\begin{pmatrix}d a_{11}&0\\\ 0&d a_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c d\,a_{11}&0\\\ 0&c d\,a_{22}\end{pmatrix} =(cd)A.
Esses três axiomas estão satisfeitos.

Passo 4

Verificação do axioma de identidade escalar: deve valer
1\cdot A = A
para todo A\in V. Mas, pela definição,
1\cdot A = \begin{pmatrix}1\cdot a_{11}&0\\\ 0&1\cdot a_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_{11}&0\\\ 0&a_{22}\end{pmatrix},
que em geral difere de \displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} quando a_{12} ou a_{21} não são zero. Portanto o axioma \;1\cdot A = A\; falha.

Resposta

O conjunto V com as operações dadas não é espaço vetorial real, pois o axioma de identidade escalar 1\cdot A = A não vale para entradas fora da diagonal.

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