Considere os vetores \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(1,1,0) e \mathbf{w}=(2,-3,5) em \mathbb{R}^{3}. Expresse o vetor \mathbf{a}=(1,-3,10) como uma combinação linear de \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathrm{e} \mathbf{w}. Ou seja, encontre escalares x, y, z \in \mathbb{R} tais que
\mathbf{a}=x \mathbf{u}+y \mathbf{v}+z \mathbf{w}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor \mathbf{a}=(1,-3,10) como combinação linear dos vetores \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(1,1,0) e \mathbf{w}=(2,-3,5). Isso envolve achar escalares x,y,z\in\mathbb{R} tais que
\mathbf{a}=x\mathbf{u}+y\mathbf{v}+z\mathbf{w}.
O conteúdo aqui é sistema linear obtido ao igualar coordenadas.

Passo 2

Escrevendo a combinação em coordenadas, temos
x\mathbf{u}+y\mathbf{v}+z\mathbf{w} = x(1,0,0)+y(1,1,0)+z(2,-3,5) =(x+y+2z,\;y-3z,\;5z).
Para ser igual a (1,-3,10), cada coordenada deve satisfazer
\begin{cases} x+y+2z = 1,\\\ y-3z = -3,\\\\ 5z = 10. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação segue
5z = 10 \quad\Longrightarrow\quad z = 2.
Substituindo na segunda equação,
y -3\cdot 2 = -3 \quad\Longrightarrow\quad y -6 = -3 \quad\Longrightarrow\quad y = 3.
Por fim, na primeira equação,
x + y + 2z = 1 \quad\Longrightarrow\quad x + 3 + 2\cdot 2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x +7 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = -6.

Resposta

x=-6, y=3, z=2. Portanto
\mathbf{a} = -6\,\mathbf{u} + 3\,\mathbf{v} + 2\,\mathbf{w}.

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