Considere os seguintes subespaços
de
:
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
O conteúdo aqui é encontrar uma base e a dimensão de um subespaço definido por uma única equação linear em
. Vamos usar a ideia de parâmetros livres para escrever um vetor genérico de
como combinação linear de vetores geradores.
Passo 2
Estamos sujeitos à condição
Podemos escolher
e
como parâmetros livres e expressar
Logo, um vetor genérico de
é
Passo 3
Reescrevendo
como combinação linear de vetores fixos, temos
Isto mostra que todo vetor de
é gerado pelos vetores
e
.
Passo 4
Verificamos que
e
são linearmente independentes, pois nenhuma combinação não trivial deles pode dar o vetor nulo:
Assim, esses dois vetores formam uma base de
.
Passo 5
Como a base escolhida tem exatamente dois vetores, concluímos que
Resposta
Uma base de
é
e
.