Considere os seguintes subespaços W de \mathbb{R}^{3} :
W=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid a+b+c=0\right\}
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid a + b + c = 0\}.
O conteúdo aqui é encontrar uma base e a dimensão de um subespaço definido por uma única equação linear em \mathbb{R}^3. Vamos usar a ideia de parâmetros livres para escrever um vetor genérico de W como combinação linear de vetores geradores.

Passo 2

Estamos sujeitos à condição
a + b + c = 0.
Podemos escolher a e b como parâmetros livres e expressar
c = -a - b.
Logo, um vetor genérico de W é
(a,b,c) = (a,b,-a - b).

Passo 3

Reescrevendo (a,b,-a - b) como combinação linear de vetores fixos, temos
(a,b,-a - b) = a\,(1,0,-1) + b\,(0,1,-1).
Isto mostra que todo vetor de W é gerado pelos vetores (1,0,-1) e (0,1,-1).

Passo 4

Verificamos que (1,0,-1) e (0,1,-1) são linearmente independentes, pois nenhuma combinação não trivial deles pode dar o vetor nulo:
\alpha(1,0,-1) + \beta(0,1,-1) = (0,0,0) \implies \alpha = 0,\\ \beta = 0.
Assim, esses dois vetores formam uma base de W.

Passo 5

Como a base escolhida tem exatamente dois vetores, concluímos que
\dim(W) = 2.

Resposta

Uma base de W é
\{(1,0,-1),\;(0,1,-1)\},
e \dim(W)=2.

Exercícios relacionados