Considere P_{3}(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 3 sobre \mathbb{R} e a transformaçāo linear T: P_{3}(\mathbb{R}) \longrightarrow P_{3}(\mathbb{R}) dads por T(p(t))=p^{\prime \prime}(t)+3 p(t). Determine T\left(2 t^{3}+4\right).

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial P_{3}(\mathbb{R}) e a transformação linear
T\colon P_{3}(\mathbb{R}) \to P_{3}(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(t)\bigr)=p''(t)+3\,p(t).
Precisamos aplicar T ao polinômio p(t)=2t^{3}+4.

Passo 2

Calcular a primeira e a segunda derivadas de p(t)=2t^{3}+4:
p'(t)=6t^{2}, \qquad p''(t)=12t.

Passo 3

Calcular 3\,p(t):
3\,p(t)=3\bigl(2t^{3}+4\bigr)=6t^{3}+12.

Passo 4

Somar p''(t) e 3\,p(t):
T\bigl(p(t)\bigr)=p''(t)+3\,p(t)=12t+\bigl(6t^{3}+12\bigr)=6t^{3}+12t+12.

Resposta

T\bigl(2t^{3}+4\bigr)=6t^{3}+12t+12.

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