Seje B_{1}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e B_{2}=\{(2,-1,0),(1,1,1),(-3,0,4)\} bases de \mathbb{R}^{3} Determine as matrizes das mudanças de base.
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases de \mathbb{R}^3: a base canônica
B_{1}=\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}
e a base
B_{2}=\{(2,-1,0),\,(1,1,1),\,(-3,0,4)\}.
Precisamos encontrar as matrizes de mudança de base entre B_{1} e B_{2}. O conteúdo aqui é “mudança de base” em espaços vetoriais finito-dimensionais; vamos usar que a matriz que leva coordenadas de B_{2} à base canônica B_{1} tem como colunas os vetores de B_{2} escritos em B_{1}, e que a matriz inversa faz a mudança inversa.
Passo 2
Definimos
P = \bigl[\,b_{2,1}\;\;b_{2,2}\;\;b_{2,3}\bigr]
onde b_{2,1}=(2,-1,0), b_{2,2}=(1,1,1) e b_{2,3}=(-3,0,4) são as colunas. Essa matriz P satisfaz, para todo vetor v,
[v]_{B_{1}} \;=\; P\,[v]_{B_{2}},
ou seja, P transforma coordenadas de B_{2} em coordenadas na base canônica B_{1}.