Seje B_{1}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e B_{2}=\{(2,-1,0),(1,1,1),(-3,0,4)\} bases de \mathbb{R}^{3} Determine as matrizes das mudanças de base.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de \mathbb{R}^3: a base canônica
B_{1}=\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}
e a base
B_{2}=\{(2,-1,0),\,(1,1,1),\,(-3,0,4)\}.
Precisamos encontrar as matrizes de mudança de base entre B_{1} e B_{2}. O conteúdo aqui é “mudança de base” em espaços vetoriais finito-dimensionais; vamos usar que a matriz que leva coordenadas de B_{2} à base canônica B_{1} tem como colunas os vetores de B_{2} escritos em B_{1}, e que a matriz inversa faz a mudança inversa.

Passo 2

Definimos
P = \bigl[\,b_{2,1}\;\;b_{2,2}\;\;b_{2,3}\bigr]
onde b_{2,1}=(2,-1,0), b_{2,2}=(1,1,1) e b_{2,3}=(-3,0,4) são as colunas. Essa matriz P satisfaz, para todo vetor v,
[v]_{B_{1}} \;=\; P\,[v]_{B_{2}},
ou seja, P transforma coordenadas de B_{2} em coordenadas na base canônica B_{1}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente,
P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Logo, a matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1} é
M_{B_{1}\leftarrow B_{2}} \;=\; P.

Passo 4

Para mudar de coordenadas de B_{1} para B_{2} usamos P^{-1}, pois
[v]_{B_{2}} \;=\; P^{-1}\,[v]_{B_{1}}.
Vamos calcular P^{-1} via a fórmula P^{-1} = \tfrac{1}{\det P}\,\mathrm{adj}(P).

Passo 5

Cálculo do determinante de P:
\det P = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} =2\,(1\cdot4-0\cdot1)\;-\;1\,(-1\cdot4-0\cdot0)\;-\;3\,(-1\cdot1-1\cdot0) =8+4+3=15.

Passo 6

Cálculo da matriz adjunta de P. A matriz de cofatores transposta (adjugate) é
\mathrm{adj}(P) = \begin{pmatrix} 4 & -7 & 3\\\\ 4 & 8 & 3\\\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix},
de modo que
P^{-1} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 4 & -7 & 3\\\\ 4 & 8 & 3\\\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Portanto, a matriz de mudança de base de B_{1} para B_{2} é P^{-1}.

Resposta

Matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1}:
M_{B_{1}\leftarrow B_{2}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Matriz de mudança de base de B_{1} para B_{2}:
M_{B_{2}\leftarrow B_{1}} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 4 & -7 & 3\\\\ 4 & 8 & 3\\\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.

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