Questão 1 . Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e a nulidade de cada matriz.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ -1 & 2 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 3\\\\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}
e pede para reduzi-la à forma escada reduzida por linhas (RREF), determinar o posto (número de pivôs) e a nulidade (dimensão do núcleo). Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan e em seguida aplicar o Teorema do Posto e da Nulidade, que diz que
\text{nulidade}(A) = n - \text{posto}(A),
onde n é o número de colunas.

Passo 2

Eliminamos abaixo do pivô em (1,1) usando
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + R_1.

Passo 3

Após essas operações, a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Normalizamos R_2 para criar um pivô igual a 1 em (2,2):
R_2 \leftarrow -\tfrac12\,R_2 \;\Longrightarrow\; R_2 = (0,\;1,\;-1).
Em seguida, eliminamos os demais elementos na coluna 2:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 3\,R_2.

Passo 5

A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Agora normalizamos R_3 para obter pivô 1 em (3,3):
R_3 \leftarrow \tfrac12\,R_3 \;\Longrightarrow\; R_3 = (0,\;0,\;1).

Passo 6

Por fim, eliminamos acima do pivô em (3,3):
R_1 \leftarrow R_1 - 2\,R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 + R_3.
Chegamos à forma escada reduzida por linhas
\mathrm{RREF}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 7

Nesta forma, há pivôs em todas as três colunas, logo
\text{posto}(A) = 3.
Como n=3, a nulidade é
\text{nulidade}(A) = n - \text{posto}(A) = 3 - 3 = 0.

Resposta

RREF (A)=I_3, posto (A)=3, nulidade (A)=0.

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