Questão 1 . Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e a nulidade de cada matriz.
\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 2 \\\\ 2 & 5 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 2 \\\\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix}
e pede para reduzi-la à forma escada reduzida por linhas (RREF), além de determinar o posto (número de pivôs) e a nulidade (dimensão do núcleo). Para isso, usaremos operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar não nulo e adição de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, tornamos o elemento (1,1) igual a 1 dividindo a primeira linha por 2 e, em seguida, zeramos as entradas abaixo desse pivô.
Aplicamos
\text{R}_1 \leftarrow \tfrac12\,\text{R}_1 \quad\text{e}\quad \begin{cases} \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 4\,\text{R}_1,\\\ \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 2\,\text{R}_1, \end{cases}
o que leva a
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & \tfrac32 \\\\ 0 & 0 & -4 \\\\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora colocamos o próximo pivô na segunda coluna, trocando a segunda e a terceira linhas, e normalizamos o novo pivô em (2,2). Em seguida, eliminamos acima desse pivô.
Aplicamos
\text{R}_2 \leftrightarrow \text{R}_3, \quad \text{R}_2 \leftarrow \tfrac14\,\text{R}_2, \quad \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \tfrac12\,\text{R}_2,
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac32 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente, normalizamos o pivô em (3,3) e eliminamos acima para obter a forma escada reduzida definitiva.
Aplicamos
\text{R}_3 \leftarrow -\tfrac14\,\text{R}_3, \quad \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \tfrac32\,\text{R}_3,
e obtemos
\mathrm{RREF}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Na RREF acima vemos que há pivôs em todas as três colunas, logo
– posto (A) = 3.
Como o número de colunas de A é 3, a nulidade é
\dim\ker(A) = 3 - \text{posto}(A) = 3 - 3 = 0.

Resposta

posto (A) = 3
nulidade (A) = 0

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