Sejam U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=0\right\} e V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-y+z=0\right\}. Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) determine U+V;
(b) podemos dizer que a soma determinada acima é uma soma direta? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^3:
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;x+y+z=0\} e
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;x-y+z=0\}.
O objetivo é (a) determinar U+V e (b) verificar se essa soma é direta. O conteúdo é soma de subespaços e condição de soma direta.

Passo 2

Calcular U\cap V\) resolvendo o sistema \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y+z=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira vem 2y=0\], logo \(y=0. Substituindo em x+y+z=0 x+z=0, isto é z=-x.
Portanto
U\cap V=\{(x,0,-x):x\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{(1,0,-1)\},
que é de dimensão 1.

Passo 3

Cada hipersuperfície em \mathbb{R}^3 definida por uma equação linear não trivial tem dimensão 2, logo
\dim U=2 e \dim V=2.
Pela fórmula da dimensão da soma de subespaços,
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V) =2+2-1=3.
Mas U+V\subseteq\mathbb{R}^3 e tem dimensão 3, portanto U+V=\mathbb{R}^3.

Passo 4

A soma U+V é direta se, e somente se, U\cap V=\{0\}. Aqui U\cap V=\mathrm{span}\{(1,0,-1)\}\neq\{0\}. Logo a soma não é direta.

Resposta

(a) U+V=\mathbb{R}^3.
(b) Não, pois U\cap V\neq\{0\}, então a soma não é direta.

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