Sejam
e
. Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) determine
;
(b) podemos dizer que a soma determinada acima é uma soma direta? Justifique sua resposta.
(a) determine
(b) podemos dizer que a soma determinada acima é uma soma direta? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
O objetivo é (a) determinar e (b) verificar se essa soma é direta. O conteúdo é soma de subespaços e condição de soma direta.
O objetivo é (a) determinar
Passo 2
Calcular
Subtraindo a segunda da primeira vem
. Substituindo em
dá
, isto é
.
Portanto
que é de dimensão 1.
Passo 3
Cada hipersuperfície em
definida por uma equação linear não trivial tem dimensão 2, logo
e
.
Pela fórmula da dimensão da soma de subespaços,
Pela fórmula da dimensão da soma de subespaços,
Mas
e tem dimensão 3, portanto
.
Passo 4
A soma
é direta se, e somente se,
. Aqui
. Logo a soma não é direta.
Resposta
(a)
.
(b) Não, pois , então a soma não é direta.
(b) Não, pois