Considere em
a métrica definida por
, para quaisquer
e
, com
. Neste contexto, mostre que:
(a) se
, então
;
(b) se
, então
.
(a) se
(b) se
Passo 1
O enunciado define em
a “distância”
e pede a descrição da bola aberta
nos dois casos: (a)
e (b)
. Vamos usar que
para todo
, e resolver a inequação
quando necessário.
Passo 2
Caso
. Como para quaisquer
temos
segue que sempre
. Logo,
Passo 3
Caso
. Partimos da condição de pertencer à bola:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo),
Isso significa exatamente
ou seja,
Resposta
(a) Se
, então
(b) Se
, então