Considere em \mathbb{R} a métrica definida por \gamma(x, y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}, para quaisquer x, y \in \mathbb{R} e p, r \in \mathbb{R}, com r>0. Neste contexto, mostre que:
(a) se r \geq 1, então B(p, r)=\mathbb{R};
(b) se 0<r<1, então B(p, r)=\left(p-\frac{r}{1-r}, p+\frac{r}{1-r}\right).

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} a “distância”
\gamma(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}
e pede a descrição da bola aberta
B(p,r)=\{\,x\in\mathbb{R}\mid \gamma(x,p)<r\}
nos dois casos: (a) r\ge1 e (b) 0<r<1. Vamos usar que 0\le\gamma(x,p)<1 para todo x\neq p, e resolver a inequação
\frac{|x-p|}{1+|x-p|}<r
quando necessário.

Passo 2

Caso r\ge1. Como para quaisquer x,p temos
0\le\gamma(x,p)=\frac{|x-p|}{1+|x-p|}<1,
segue que sempre \gamma(x,p)<r. Logo,
B(p,r)=\mathbb{R}.

Passo 3

Caso 0<r<1. Partimos da condição de pertencer à bola:
\frac{|x-p|}{1+|x-p|}<r.
Multiplicando ambos os lados por 1+|x-p| (positivo),
|x-p|<r\bigl(1+|x-p|\bigr) \;\Longleftrightarrow\; |x-p|<r+r\,|x-p| \;\Longleftrightarrow\; |x-p| - r\,|x-p| < r
\bigl(1-r\bigr)\,|x-p|<r \;\Longleftrightarrow\; |x-p|<\frac{r}{1-r}.
Isso significa exatamente
p-\frac{r}{1-r}<x<p+\frac{r}{1-r},
ou seja,
B(p,r)=\Bigl(p-\frac{r}{1-r},\,p+\frac{r}{1-r}\Bigr).

Resposta

(a) Se r\ge1, então
B(p,r)=\mathbb{R}.
(b) Se 0<r<1, então
B(p,r) =\Bigl(p-\frac{r}{1-r},\,p+\frac{r}{1-r}\Bigr).

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