Considere em
as métricas definidas por
e
, para quaisquer
. Nessas condições, mostre que não existem constantes
de modo que
para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado define em
duas distâncias:
Pede-se provar que não existem constantes
e
tais que, para todo
,
O conteúdo aqui é verificar se
e
são equivalentes (Lipschitz equivalentes) em
.
Passo 2
Analiso primeiro a desigualdade de cima,
Se
, dividindo por
obtemos
Como o lado esquerdo atinge seu máximo quando
, temos
logo basta escolher
. Com isso, a desigualdade
vale para todo par
.
Passo 3
Agora analiso a desigualdade de baixo,
Novamente, se
, dividindo por
dá
Porém, conforme
, o lado direito tende a
. Ou seja,
de modo que não existe
satisfazendo
Em particular, para qualquer
podemos escolher
grande o bastante tal que
, violando
.
Resposta
Não existem constantes
e
que satisfaçam simultaneamente
para todos
, pois embora possamos tomar
, não há
que funcione.