Considere em \mathbb{R} as métricas definidas por d(x, y)=|x-y| e \gamma(x, y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}, para quaisquer x, y \in \mathbb{R}. Nessas condições, mostre que não existem constantes r, s>0 de modo que
r d(x, y) \leq \gamma(x, y) \leq s d(x, y)
para quaisquer x, y \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} duas distâncias:
d(x,y)=|x-y| \quad\text{e}\quad \gamma(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}.
Pede-se provar que não existem constantes r>0 e s>0 tais que, para todo x,y\in\mathbb{R},
r\,d(x,y)\le\gamma(x,y)\le s\,d(x,y).
O conteúdo aqui é verificar se \gamma e d são equivalentes (Lipschitz equivalentes) em \mathbb{R}.

Passo 2

Analiso primeiro a desigualdade de cima,
\gamma(x,y)\le s\,d(x,y).
Se x\ne y, dividindo por |x-y| obtemos
\frac{\gamma(x,y)}{|x-y|} =\frac{1}{1+|x-y|}\le s.
Como o lado esquerdo atinge seu máximo quando |x-y|\to0, temos
\sup_{t>0}\frac{1}{1+t}=1,
logo basta escolher s=1. Com isso, a desigualdade \gamma(x,y)\le s\,d(x,y) vale para todo par (x,y).

Passo 3

Agora analiso a desigualdade de baixo,
r\,d(x,y)\le\gamma(x,y).
Novamente, se x\ne y, dividindo por |x-y|
r\le\frac{\gamma(x,y)}{|x-y|} =\frac{1}{1+|x-y|}.
Porém, conforme |x-y|\to\infty, o lado direito tende a 0. Ou seja,
\inf_{t>0}\frac{1}{1+t}=0,
de modo que não existe r>0 satisfazendo
r\le\frac{1}{1+|x-y|} \quad\forall\,|x-y|.
Em particular, para qualquer r>0 podemos escolher |x-y| grande o bastante tal que \frac1{1+|x-y|}<r, violando r\,d(x,y)\le\gamma(x,y).

Resposta

Não existem constantes r>0 e s>0 que satisfaçam simultaneamente
r\,d(x,y)\le\gamma(x,y)\le s\,d(x,y)
para todos x,y\in\mathbb{R}, pois embora possamos tomar s=1, não há r>0 que funcione.

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