Considere \mathbb{R} com a métrica usual e N=\{0\} \cup[1,2) com a métrica usual induzida de \mathbb{R}. Neste contexto, determine as seguintes bolas aberta em relação a N :
B_{N}(1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço métrico (N,d), onde
N = \{0\}\;\cup\;[1,2)
e d é a métrica usual de \mathbb{R} restrita a N. Precisamos encontrar a bola aberta de centro 1 e raio 2 em N, ou seja,
B_{N}(1,2)=\{\,y\in N \mid d(y,1)<2\}.

Passo 2

Num espaço com a métrica usual, a condição d(y,1)<2 vira
|y-1|<2
em \mathbb{R}. Isso equivale ao intervalo aberto
-1<y<3.

Passo 3

Como estamos em N, só podemos coletar os y que também pertencem a
\{0\}\;\cup\;[1,2).
Agora intersectamos:
(-1,3)\;\cap\;\bigl(\{0\}\cup[1,2)\bigr).

Passo 4

Verificando a interseção:
  1. O ponto 0 satisfaz -1<0<3, então ele entra.
  2. Qualquer y\in[1,2) satisfaz 1\le y<2<3, então todo o intervalo [1,2) entra.
  3. O ponto 2 não faz parte de N (é poupado pela chave de intervalo), logo não aparece.

Resposta

B_{N}(1,2)=\{0\}\;\cup\;[1,2).

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