Considere em \mathbb{R} a métrica definida por \alpha(x, y)=\min \{1,|x-y|\}, para quaisquer x, y \in \mathbb{R}. Nessas condições, determine as bolas abertas B\left(0, \frac{1}{2}\right) e B(0,3).

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço métrico (\mathbb{R},\alpha) em que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
\alpha(x,y)=\min\{1,|x-y|\}.
Queremos determinar as bolas abertas
B\!\bigl(0,\tfrac12\bigr)=\{y\in\mathbb{R}:\alpha(0,y)<\tfrac12\}
e
B(0,3)=\{y\in\mathbb{R}:\alpha(0,y)<3\}.

Passo 2

Para B\bigl(0,\tfrac12\bigr) exigimos
\alpha(0,y)=\min\{1,|y|\}<\tfrac12.
Como \min\{1,|y|\}<\tfrac12 só ocorre se |y|<\tfrac12 (pois se |y|\ge1, \min\{1,|y|\}=1\ge\tfrac12), concluímos
B\!\bigl(0,\tfrac12\bigr)=\{y\in\mathbb{R}:|y|<\tfrac12\}=(-\tfrac12,\tfrac12).

Passo 3

Para B(0,3) exigimos
\alpha(0,y)=\min\{1,|y|\}<3.
Mas \min\{1,|y|\} vale no máximo 1, e 1<3 para qualquer y. Logo todos os y\in\mathbb{R} satisfazem \alpha(0,y)<3. Portanto
B(0,3)=\mathbb{R}.

Resposta

B\bigl(0,\tfrac12\bigr)=(-\tfrac12,\tfrac12) B(0,3)=\mathbb{R}

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