Considere em \mathbb{R} as métricas definidas por d(x, y)=|x-y| e \gamma(x, y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}, para quaisquer x, y \in \mathbb{R}. Com base nessas informações, mostre que d \sim \gamma.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} as métricas
d(x,y)=|x-y| \quad\text{e}\quad \gamma(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|},
e pede para mostrar que elas induzem a mesma topologia, isto é, d\sim\gamma. Para isso, basta provar que, em qualquer ponto x\in\mathbb{R}, toda bola aberta em uma métrica contém uma bola aberta na outra e vice-versa.

Passo 2

Mostramos primeiro que, dado x\in\mathbb{R} e 0<r<1, existe \delta>0 tal que
B_\gamma(x,r)\subseteq B_d(x,\delta).
De fato, se y\in B_\gamma(x,r) então
\frac{|x-y|}{1+|x-y|}<r.
Como 1+|x-y|>1, multiplica-se ambos os lados por 1+|x-y| e depois por 1-r>0:
|x-y|<r\,(1+|x-y|)\quad\Longrightarrow\quad (1-r)\,|x-y|<r \quad\Longrightarrow\quad |x-y|<\frac{r}{1-r}.
Logo, basta tomar
\delta=\frac{r}{1-r},
pois se \gamma(x,y)<r então |x-y|<\delta, disto segue
B_\gamma(x,r)\subseteq B_d\!\Bigl(x,\tfrac{r}{1-r}\Bigr).
Se r\ge1, note que B_\gamma(x,r)=\mathbb{R} (pois \gamma<1 sempre), e também B_d(x,\delta)\subseteq\mathbb{R} para qualquer \delta>0, de modo que a inclusão é trivial.

Passo 3

Agora mostramos a outra inclusão: dado x\in\mathbb{R} e \varepsilon>0, existe r>0 tal que
B_d(x,\varepsilon)\subseteq B_\gamma(x,r).
Se y\in B_d(x,\varepsilon), isto é |x-y|<\varepsilon, então
\gamma(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}<\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}.
Basta definir
r=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon},
pois assim
|x-y|<\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \gamma(x,y)<r \quad\Longrightarrow\quad y\in B_\gamma(x,r),
e portanto
B_d(x,\varepsilon)\subseteq B_\gamma\!\Bigl(x,\tfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\Bigr).

Resposta

Como em cada ponto as bolas de uma métrica contêm bolas da outra e vice-versa, conclui-se que as duas métricas induzem a mesma topologia. Portanto d\sim\gamma.

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