Considere em
as métricas definidas por
e
, para quaisquer
. Com base nessas informações, mostre que
.
Passo 1
O enunciado define em
as métricas
e pede para mostrar que elas induzem a mesma topologia, isto é,
. Para isso, basta provar que, em qualquer ponto
, toda bola aberta em uma métrica contém uma bola aberta na outra e vice-versa.
Passo 2
Mostramos primeiro que, dado
e
, existe
tal que
De fato, se
então
Como
, multiplica-se ambos os lados por
e depois por
:
Logo, basta tomar
pois se
então
, disto segue
Se
, note que
(pois
sempre), e também
para qualquer
, de modo que a inclusão é trivial.
Passo 3
Agora mostramos a outra inclusão: dado
e
, existe
tal que
Se
, isto é
, então
Basta definir
pois assim
e portanto
Resposta
Como em cada ponto as bolas de uma métrica contêm bolas da outra e vice-versa, conclui-se que as duas métricas induzem a mesma topologia. Portanto