Considere em \mathbb{R} as métricas definidas por d_{1}(x, y)=|x-y| e d_{2}(x, y)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } x=y, \\\\ 1, \text { se } x \neq y,\end{array}\right. para quaisquer x, y \in \mathbb{R}. Apoiado nisso, mostre que d_{1} \mathrm{e} d_{2} não são equivalentes.
Passo 1
O enunciado nos dá duas métricas em \mathbb{R}\): a métrica usual
\[d_{1}(x,y)=|x-y|
e a métrica discreta
d_{2}(x,y)= \begin{cases} 0,&\text{se }x=y,\\\\ 1,&\text{se }x\neq y. \end{cases}
Duas métricas são equivalentes quando geram exatamente os mesmos conjuntos abertos (ou seja, a mesma topologia). Para mostrar que d_{1}\] e \(d_{2}não são equivalentes, basta encontrar um conjunto que seja aberto em uma métrica e não o seja na outra.
Passo 2
No caso de d_{2}\), os \(r\)-bolas ao redor de um ponto \(x\) são
\[B_{2}(x,r)=\{\,y\in\mathbb{R}\mid d_{2}(x,y)<r\} =\begin{cases} \{x\},&\text{se }0<r\le1,\\\ \mathbb{R},&\text{se }r>1. \end{cases}
Isto mostra que todo singleton \{x\}\] é aberto na topologia de \(d_{2}.