Considere em \mathbb{R} as métricas definidas por d_{1}(x, y)=|x-y| e d_{2}(x, y)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } x=y, \\\\ 1, \text { se } x \neq y,\end{array}\right. para quaisquer x, y \in \mathbb{R}. Apoiado nisso, mostre que d_{1} \mathrm{e} d_{2} não são equivalentes.

Passo 1

O enunciado nos dá duas métricas em \mathbb{R}\): a métrica usual \[d_{1}(x,y)=|x-y|
e a métrica discreta
d_{2}(x,y)= \begin{cases} 0,&\text{se }x=y,\\\\ 1,&\text{se }x\neq y. \end{cases}
Duas métricas são equivalentes quando geram exatamente os mesmos conjuntos abertos (ou seja, a mesma topologia). Para mostrar que d_{1}\] e \(d_{2} não são equivalentes, basta encontrar um conjunto que seja aberto em uma métrica e não o seja na outra.

Passo 2

No caso de d_{2}\), os \(r\)-bolas ao redor de um ponto \(x\) são \[B_{2}(x,r)=\{\,y\in\mathbb{R}\mid d_{2}(x,y)<r\} =\begin{cases} \{x\},&\text{se }0<r\le1,\\\ \mathbb{R},&\text{se }r>1. \end{cases}
Isto mostra que todo singleton \{x\}\] é aberto na topologia de \(d_{2}.
Por outro lado, na métrica usual d_{1} a r-bola é
B_{1}(x,r)=\{\,y\in\mathbb{R}\mid |y-x|<r\} =(x-r,\;x+r),
que sempre contém pontos diferentes de x. Logo nenhum singleton \{x\} é aberto em d_{1}.
Como \{x\} é aberto em d_{2} mas não em d_{1}, as topologias são diferentes e portanto as métricas não são equivalentes.

Resposta

As métricas d_{1} e d_{2} não são equivalentes, pois induzem topologias distintas (singleton aberto em d_{2} e não aberto em d_{1}).

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