Desenhe a imagem:
F(t)=(\operatorname{sen} t, \operatorname{sen} t, t), t \geqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da aplicação paramétrica
F(t) = \bigl(\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t,\;t\bigr),\quad t\ge0.
O conteúdo é curva paramétrica em \mathbb{R}^3. Para esboçar a curva, precisamos (1) identificar em que superfície ela vive e (2) descrever seu comportamento dentro dessa superfície.

Passo 2

Observamos que as duas primeiras coordenadas são iguais:
x(t)=\operatorname{sen} t,\quad y(t)=\operatorname{sen} t
Logo a curva está contida no plano x=y.

Passo 3

Para visualizar melhor dentro do plano x=y, introduzimos coordenadas locais nesse plano. Uma escolha simples é
u = \frac{x+y}{\sqrt2},\quad v = z.
Como x=y=\operatorname{sen} t, temos
u(t) = \frac{\operatorname{sen} t + \operatorname{sen} t}{\sqrt2} = \sqrt2\,\operatorname{sen} t,\qquad v(t)=t.
Em u,v a curva é um senoide de amplitude \sqrt2 que cresce monotonamente em v.

Passo 4

Traduzindo de volta para (x,y,z), a imagem é uma “onda senoidal” dentro do plano oblíquo x=y, oscilando entre (\,-1,-1,z) e (1,1,z) e subindo indefinidamente na direção de z.

Resposta

A curva é um senoide de amplitude 1, contida no plano x=y, que oscila entre os pontos (-\!1,-\!1,t) e (1,1,t) enquanto sobe sem limite em z. Em um esboço, basta desenhar o plano inclinado x=y e traçar nele uma onda senoidal que cresce na direção vertical z.

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