Encontre uma fórmula para o termo geral x_{n} da sequência ( x_{n} ), admitindo-se que o padrão dos primeiros termos continua.
\left(1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{4}, \ldots\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \bigl(x_n\bigr) = \bigl(1,\,-\tfrac12,\,+\tfrac13,\,-\tfrac14,\ldots\bigr)
e pede uma fórmula para o termo geral x_n. O conteúdo é reconhecimento de padrões em sequências, onde vamos identificar o módulo de cada termo e o padrão de sinais.

Passo 2

Olhemos primeiro para os valores absolutos dos termos:
|x_1| = 1,\quad |x_2| = \tfrac12,\quad |x_3| = \tfrac13,\quad |x_4| = \tfrac14,\;\ldots
Percebemos que
|x_n| = \frac{1}{n}.

Passo 3

Agora observemos os sinais: x_1>0, x_2<0, x_3>0, x_4<0, …
Ou seja, os sinais alternam, sendo positivo para n ímpar e negativo para n par. Um fator que gera essa alternância é
(-1)^{n-1},
pois para n=1 (-1)^0=+1, para n=2 (-1)^1=-1, e assim por diante.

Passo 4

Basta então combinar o módulo \tfrac1n com o fator de sinal (-1)^{n-1}. Assim obtemos
x_n = (-1)^{\,n-1}\,\frac{1}{n}.

Resposta

x_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}

Exercícios relacionados