Considere o \mathbb{R}^{n} munido da métrica euclidiana, A=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} ; x_{n}=0\right\} e p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n-1}, p_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}. Nessas condições, mostre que d(p, A)=\left|p_{n}\right|.

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathbb{R}^n com a métrica euclidiana e define
A = \{(x_1,\dots,x_{n-1},x_n)\in\mathbb{R}^n : x_n=0\}.
Queremos mostrar que, para um ponto p=(p_1,\dots,p_{n-1},p_n),
d(p,A) \;=\;\inf_{a\in A} \|p - a\|_2 \;=\; |p_n|.

Passo 2

Construímos um ponto candidato em A que é a projeção ortogonal de p sobre o hiperplano x_n=0, a saber
a^* = (p_1,\dots,p_{n-1},0)\in A.
Vamos calcular a distância de p até a^*.

Passo 3

Pelo cálculo da norma euclidiana
\|p - a^*\|_2 = \sqrt{(p_1-p_1)^2 + \cdots + (p_{n-1}-p_{n-1})^2 + (p_n-0)^2} = \sqrt{p_n^2} = |p_n|.

Passo 4

Agora, para qualquer a=(a_1,\dots,a_{n-1},0)\in A,
\|p - a\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n-1}(p_i - a_i)^2 + p_n^2} \;\ge\;\sqrt{p_n^2} = |p_n|.
Isso mostra que |p_n| é um limite inferior para todas as distâncias \|p-a\|_2, e como já exibimos a^* que atinge \|p-a^*\|_2=|p_n|, concluímos que o ínfimo é exatamente |p_n|.

Resposta

d(p,A) = |p_n|.

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