Considere \mathbb{R} com a métrica usual e N=\{0\} \cup[1,2) com a métrica usual induzida de \mathbb{R}. Neste contexto, determine as seguintes bolas aberta em relação a N :
B_{N}(0,3);

Passo 1

O enunciado define o espaço métrico N como o subespaço de \mathbb{R} dado por
N = \{0\}\cup[1,2)
com a métrica usual herdada de \mathbb{R}. Pede-se a bola aberta em N de centro 0 e raio 3, isto é,
B_{N}(0,3) = \{\,y\in N \mid d(y,0)<3\}.

Passo 2

Lembrando a definição de bola aberta em subespaço:
B_{N}(0,3)=\{y\in N\mid |y-0|<3\}.
Como a métrica é a usual em \mathbb{R}, temos simplesmente a condição |y|<3.

Passo 3

Agora verificamos quais pontos de N satisfazem |y|<3:
  • y=0 satisfaz |0|=0<3.
  • Para todo y\in[1,2) vale 1\le y<2, logo |y|=y<2<3.

Passo 4

Não há outros pontos em N. Assim todo elemento de N satisfaz |y|<3, ou seja,
B_{N}(0,3)=N.

Resposta

B_{N}(0,3)=\{0\}\cup[1,2).

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