Considere \mathbb{R} com a métrica usual e N=\{0\} \cup[1,2) com a métrica usual induzida de \mathbb{R}. Neste contexto, determine as seguintes bolas aberta em relação a N :
B_{N}\left(0, \frac{1}{2}\right);

Passo 1

Temos o espaço métrico N=\{0\}\cup[1,2) com a métrica usual restrita de \mathbb{R}. Queremos a bola aberta em N centrada em 0 com raio \tfrac12, ou seja
B_{N}\bigl(0,\tfrac12\bigr)=\{x\in N : d(x,0)<\tfrac12\}.

Passo 2

Em N só há dois tipos de pontos: 0 e os x\in[1,2). Para x\in[1,2) temos
d(x,0)=|x-0|\ge1>\tfrac12,
logo nenhum desses entra na bola. Já para x=0 temos d(0,0)=0<\tfrac12, então 0 pertence à bola.

Resposta

B_{N}\bigl(0,\tfrac12\bigr)=\{0\}.

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