Considere \mathbb{R}^{3} com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar e
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x-z=0\right\}
(a) (2,0 pontos ) Mostre que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial \mathbb{R}^3 dotado das operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e define o conjunto
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : 2x - z = 0\}.
Para mostrar que W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, precisamos verificar três propriedades básicas:
  1. O vetor zero pertence a W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero \mathbf{0} = (0,0,0) pertence a W pois
2\cdot 0 - 0 = 0,
logo \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) pertencentes a W. Então
2x_1 - z_1 = 0 \quad\text{e}\quad 2x_2 - z_2 = 0.
O somatório é
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
e
2(x_1+x_2) - (z_1+z_2) = (2x_1 - z_1) + (2x_2 - z_2) = 0 + 0 = 0.
Logo \mathbf{u} + \mathbf{v}\in W, provando o fechamento sob soma.

Passo 4

Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z)\in W, com 2x - z = 0. Então
\alpha \mathbf{u} = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z),
e
2(\alpha x) - (\alpha z) = \alpha\,(2x - z) = \alpha \cdot 0 = 0.
Portanto \alpha \mathbf{u}\in W, mostrando o fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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