Considere
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar e
(a)
pontos
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial
dotado das operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e define o conjunto
Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, precisamos verificar três propriedades básicas:
- O vetor zero pertence a
. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
pertence a
pois
logo
.
Passo 3
Sejam
e
pertencentes a
. Então
O somatório é
e
Logo
, provando o fechamento sob soma.
Passo 4
Seja
e
, com
. Então
e
Portanto
, mostrando o fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.