Considere \theta \mathbb{R}^{2} com as operações definidas para quaisquer \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} e \alpha \in \mathbb{R} por:
\begin{gathered} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}, y_{1}\right) \\\ \alpha\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(\alpha x_{1}, y_{1}\right) \end{gathered}
(0,5 pontos ) \mathbb{R}^{2} munido das operações definidas acima é um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{R}^2 com as operações
(x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{1},y_{1}),
\alpha\,(x_{1},y_{1}) = (\alpha x_{1},y_{1}),
e pergunta se isso forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para ser espaço vetorial, a soma deve, entre outras coisas, ser comutativa, ou seja,
(u+v)= (v+u)\quad\text{para todo }u,v\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Vamos testar a comutatividade escolhendo u=(1,0) e v=(0,1). Calculamos
u+v = (1,0)+(0,1) = (1,0),
v+u = (0,1)+(1,0) = (0,1).
Como (1,0)\neq(0,1), a soma falha em ser comutativa.

Resposta

Não, \mathbb{R}^2 com essas operações não é um espaço vetorial.

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