Considere \theta \mathbb{R}^{2} com as operações definidas para quaisquer \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} e \alpha \in \mathbb{R} por:
\begin{gathered} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}, y_{1}\right) \\\ \alpha\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(\alpha x_{1}, y_{1}\right) \end{gathered}
(0,5 pontos ) \mathrm{A} operação de multiplicação por escalar definida acima satisfaz o axioma: "para quaisquer \alpha, \beta \in \mathbb{R} e \left(x_{1}, y_{1}\right) \in \mathbb{R}^{2}, temos que \alpha\left(\beta\left(x_{1}, y_{1}\right)\right)=(\alpha \beta)\left(x_{1}, y_{1}\right) "?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{R}^2 com a soma e a multiplicação por escalar definidas por
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1,y_1), \quad \alpha\,(x_1,y_1)=(\alpha x_1,y_1).
Queremos verificar o axioma da composição de escalares: para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R} e (x_1,y_1)\in\mathbb{R}^2, se
\alpha\bigl(\beta(x_1,y_1)\bigr) = (\alpha\beta)(x_1,y_1).

Passo 2

Primeiro calculamos \beta(x_1,y_1) pela definição de multiplicação por escalar:
\beta(x_1,y_1)=(\beta x_1,y_1).
Em seguida aplicamos \alpha a esse resultado:
\alpha\bigl(\beta(x_1,y_1)\bigr) =\alpha\bigl(\beta x_1,y_1\bigr) =(\alpha\,(\beta x_1),\,y_1) =(\alpha\beta\,x_1,\,y_1).

Passo 3

Agora calculamos (\alpha\beta)(x_1,y_1) diretamente:
(\alpha\beta)(x_1,y_1) =((\alpha\beta)\,x_1,\,y_1).
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que
\alpha\bigl(\beta(x_1,y_1)\bigr) =(\alpha\beta\,x_1,\,y_1) =(\alpha\beta)(x_1,y_1).

Resposta

Sim, a operação de multiplicação por escalar satisfaz o axioma
\alpha\bigl(\beta(x_1,y_1)\bigr) =(\alpha\beta)(x_1,y_1).

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