Considere M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar e os seguintes subespaços vetoriais de M_{2}(\mathbb{R}) :
U=\left\{\left(\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & c \end{array}\right): a, b, c \in \mathbb{R}\right\} \text { e } W=\left\{\left(\begin{array}{cc} d & 0 \\\ e & 0 \end{array}\right): d, e \in \mathbb{R}\right\}
Mostre que U+W=M_{2}(\mathbb{R}). A soma U+W é uma soma direta?

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) de todas as matrizes 2\times2 reais e os subespaços
U=\biggl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & c\end{pmatrix}:a,b,c\in\mathbb{R}\biggr\}, \quad W=\biggl\{\begin{pmatrix}d & 0\e & 0\end{pmatrix}:d,e\in\mathbb{R}\biggr\}.
Precisamos mostrar que U+W=M_{2}(\mathbb{R}) e verificar se essa soma é direta, ou seja, se U\cap W=\{0\}.

Passo 2

Para provar que U+W=M_{2}(\mathbb{R}) tomamos uma matriz arbitrária
X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}).
Queremos escrever X=A+B com A\in U e B\in W.

Passo 3

Escolhemos
A=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\\ 0&x_{22}\end{pmatrix}\in U, \quad B=\begin{pmatrix}0&0\x_{21}&0\end{pmatrix}\in W.
De fato, em A temos formato \begin{pmatrix}a&b\\\ 0&c\end{pmatrix} e em B formato \begin{pmatrix}d&0\e&0\end{pmatrix}. Soma:
A+B =\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\\ 0&x_{22}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&0\x_{21}&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}=X.
Logo qualquer X está em U+W, isto é, U+W=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 4

Para ver se a soma é direta, calculamos U\cap W. Seja
M=\begin{pmatrix}a&b\\\ 0&c\end{pmatrix}\in U\cap W.
Como M\in W, sua forma é \begin{pmatrix}d&0\e&0\end{pmatrix}. Igualando coordenadas:
  • b=0 e c=0 (pois em W o elemento (1,2) e (2,2) são zero),
  • em (2,1) da forma de U temos 0=e, logo e=0,
  • resta a=d, que é livre. Assim
M=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Logo
U\cap W=\Bigl\{a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}:a\in\mathbb{R}\Bigr\},
que não é apenas o zero (é de dimensão 1). Portanto a soma não é direta.

Resposta

U+W=M_{2}(\mathbb{R}).
A soma não é direta, pois U\cap W\neq\{0\}.

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