Considere o produto interno usual no \mathbb{R}^{2}. Verifique se os seguintes conjuntos são bases ortonormais. \{(1,-1),(1,1)\}
Passo 1
O que o problema pede: verificar se o conjunto \{(1,-1),(1,1)\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2 quando usamos o produto interno usual.
Informações dadas: os dois vetores são (1,-1) e (1,1). O produto interno usual em \mathbb{R}^2 é o produto escalar padrão \langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2.
Passo 2
Definição e check da ortogonalidade (passo-a-passo didático).
O conjunto é ortonormal se: (i) os vetores são mutuamente ortogonais (produto interno zero) e (ii) cada vetor tem norma 1. Vou checar (i) primeiro.
Calculemos o produto escalar entre (1,-1) e (1,1). Usamos a fórmula do produto interno:
Observação: para ser ortonormal cada norma deveria ser \,1. Aqui ambas têm norma \sqrt{2}\neq 1. Conclusão parcial: os vetores são ortogonais, mas não são normalizados (não têm comprimento 1), logo o conjunto não é ortonormal.
Passo 4
Verificação se o conjunto é base (didática sobre o porquê).
Uma base de \mathbb{R}^2 exige que os dois vetores sejam linearmente independentes (ou equivalently que gerem todo \mathbb{R}^2). Dois vetores ortogonais não nulos em \mathbb{R}^2 são necessariamente linearmente independentes. Aqui os dois vetores são ortogonais e não nulos, então são linearmente independentes.
Podemos também checar pelo determinante da matriz cujas colunas são os vetores:
o que confirma que formam uma base de \mathbb{R}^2.
Passo 5
Como transformar em base ortonormal (dica prática para prova).
Para obter uma base ortonormal a partir de vetores ortogonais não nulos, normalizamos cada um dividindo pela sua norma. Aqui cada vetor tem norma \sqrt{2}, então os vetores normalizados são
Esses dois vetores são ortogonais (o produto interno continua zero) e agora têm norma 1, portanto formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^2.
Resposta
Não. O conjunto é ortogonal e forma uma base de \mathbb{R}^2, mas não é ortonormal (os vetores têm norma \sqrt{2}, não 1). Uma base ortonormal equivalente é \displaystyle \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1),\,\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\right\}.