Considere o produto interno usual no \mathbb{R}^{2}. Verifique se os seguintes conjuntos são bases ortonormais.
\{(1,-1),(1,1)\}

Passo 1

O que o problema pede: verificar se o conjunto \{(1,-1),(1,1)\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2 quando usamos o produto interno usual.
Informações dadas: os dois vetores são (1,-1) e (1,1). O produto interno usual em \mathbb{R}^2 é o produto escalar padrão \langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2.

Passo 2

Definição e check da ortogonalidade (passo-a-passo didático).
O conjunto é ortonormal se: (i) os vetores são mutuamente ortogonais (produto interno zero) e (ii) cada vetor tem norma 1. Vou checar (i) primeiro.
Calculemos o produto escalar entre (1,-1) e (1,1). Usamos a fórmula do produto interno:
\langle (1,-1),(1,1)\rangle = 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1.
Agora faça a conta: 1\cdot 1 = 1 e (-1)\cdot 1 = -1, somando dá 1+(-1)=0. Portanto
\langle (1,-1),(1,1)\rangle = 0.
Interpretação: os vetores são ortogonais (ou seja, formam ângulo de 90^\circ). Isso satisfaz a condição (i) para ser ortonormal.

Passo 3

Definição da norma induzida pelo produto interno e cálculo das normas (passo-a-passo didático).
A norma de um vetor v=(v_1,v_2) vem da fórmula
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{v_1^2+v_2^2}.
Calculemos para cada vetor.
Para v_1=(1,-1):
\| (1,-1)\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
Para v_2=(1,1):
\| (1,1)\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
Observação: para ser ortonormal cada norma deveria ser \,1. Aqui ambas têm norma \sqrt{2}\neq 1. Conclusão parcial: os vetores são ortogonais, mas não são normalizados (não têm comprimento 1), logo o conjunto não é ortonormal.

Passo 4

Verificação se o conjunto é base (didática sobre o porquê).
Uma base de \mathbb{R}^2 exige que os dois vetores sejam linearmente independentes (ou equivalently que gerem todo \mathbb{R}^2). Dois vetores ortogonais não nulos em \mathbb{R}^2 são necessariamente linearmente independentes. Aqui os dois vetores são ortogonais e não nulos, então são linearmente independentes.
Podemos também checar pelo determinante da matriz cujas colunas são os vetores:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A)=1\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 1 - (-1) = 2 \neq 0,
o que confirma que formam uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 5

Como transformar em base ortonormal (dica prática para prova).
Para obter uma base ortonormal a partir de vetores ortogonais não nulos, normalizamos cada um dividindo pela sua norma. Aqui cada vetor tem norma \sqrt{2}, então os vetores normalizados são
\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\quad\text{e}\quad \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
Esses dois vetores são ortogonais (o produto interno continua zero) e agora têm norma 1, portanto formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^2.

Resposta

Não. O conjunto é ortogonal e forma uma base de \mathbb{R}^2, mas não é ortonormal (os vetores têm norma \sqrt{2}, não 1). Uma base ortonormal equivalente é \displaystyle \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1),\,\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\right\}.

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