Considere
com o produto interno usual e
. Determine uma base ortonormal de
e uma de
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço
com o produto interno usual e o subespaço
O que é pedido:
- Determinar uma base ortonormal de
. - Determinar uma base ortonormal de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação linear
define como o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal . - Como há uma equação linear independente em
, segue que e .
Passo 2
Encontrar um gerador de
.
A normal da equação é o vetor
Pelo próprio significado da equação, todo vetor de
é ortogonal a
, logo
Passo 3
Obter uma base ortonormal de
(vetor normal unitário).
Calcular a norma de
usando o produto interno usual:
Portanto
. O vetor unitário que gera
é
Passo 4
Escolher três vetores independentes em
como ponto de partida.
Podemos parametrizar
pensando em
livres e
. Escolho três vetores simples correspondendo a escolhas unitárias das variáveis livres:
Verificação rápida (cada um satisfaz
):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses três vetores são linearmente independentes e pertencem a
, então formam uma base de
(não ortonormal). Agora vamos aplicar Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal.
Passo 5
Lembrete do procedimento de Gram–Schmidt (fórmulas e conceitos usados).
Dados vetores
, definimos vetores ortogonais
por
onde a projeção de
sobre
é
e
é o produto interno usual (produto escalar). Depois normalizamos cada
dividindo pela sua norma para obter os vetores unitários
.
Passo 6
Primeira etapa:
e normalização.
Temos
Calcular norma:
O primeiro vetor ortonormal é
Passo 7
Segunda etapa: calcular
.
Primeiro o produto interno
Como
, a projeção é
Então
Para simplificar a normalização, multiplico
por
e uso o vetor equivalente
. Calculo a norma de
:
portanto
. O segundo vetor ortonormal é
(Obs.: usar
apenas facilita os cálculos;
é a normalização correta de
.)
Passo 8
Terceira etapa: calcular
.
Calcule as projeções usando
e
(já temos
e
).
Produto com
:
Logo
Produto com
:
Logo
Somando as duas projeções:
Colocando em denominador comum
:
Agora
Multiplicando por
para eliminar frações, tomo o vetor equivalente
Calcular a norma de
:
portanto
. O terceiro vetor ortonormal é
Passo 9
Verificações rápidas e conclusão.
- Já verificámos algebraicamente que
são mutuamente ortogonais (porque cada foi construído subtraindo projeções) e cada um tem norma pela construção. - Também
é unitário e ortogonal a todos os (e portanto a todos os ), porque vem do vetor normal da equação de .
Assim temos uma base ortonormal de
formada por
e uma base ortonormal de
formada por
.
Resposta
Uma base ortonormal de
:
Uma base ortonormal de
: