Considere \mathbb{R}^{4} com o produto interno usual e U=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: \quad x-2 y+z+w=0\right\}. Determine uma base ortonormal de U e uma de U^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço \mathbb{R}^{4} com o produto interno usual e o subespaço
U=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}:\; x-2y+z+w=0\}.
O que é pedido:
  • Determinar uma base ortonormal de U.
  • Determinar uma base ortonormal de U^{\perp}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação linear x-2y+z+w=0 define U como o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal (1,-2,1,1).
  • Como há uma equação linear independente em \mathbb{R}^{4}, segue que \dim(U)=3 e \dim(U^{\perp})=1.

Passo 2

Encontrar um gerador de U^{\perp}.
A normal da equação é o vetor
n=(1,-2,1,1).
Pelo próprio significado da equação, todo vetor de U é ortogonal a n, logo
U^{\perp}=\operatorname{span}\{n\}.

Passo 3

Obter uma base ortonormal de U^{\perp} (vetor normal unitário).
Calcular a norma de n usando o produto interno usual:
\|n\|^{2}=1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+1^{2}=1+4+1+1=7.
Portanto \|n\|=\sqrt{7}. O vetor unitário que gera U^{\perp} é
e_{4}=\frac{1}{\sqrt{7}}(1,-2,1,1).

Passo 4

Escolher três vetores independentes em U como ponto de partida.
Podemos parametrizar U pensando em y,z,w livres e x=2y-z-w. Escolho três vetores simples correspondendo a escolhas unitárias das variáveis livres:
v_{1}=(2,1,0,0),\qquad v_{2}=(-1,0,1,0),\qquad v_{3}=(-1,0,0,1).
Verificação rápida (cada um satisfaz x-2y+z+w=0):
  • Para v_{1}: 2-2\cdot1+0+0=0.
  • Para v_{2}: -1-2\cdot0+1+0=0.
  • Para v_{3}: -1-2\cdot0+0+1=0.
Esses três vetores são linearmente independentes e pertencem a U, então formam uma base de U (não ortonormal). Agora vamos aplicar Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal.

Passo 5

Lembrete do procedimento de Gram–Schmidt (fórmulas e conceitos usados).
Dados vetores v_{1},v_{2},v_{3}, definimos vetores ortogonais u_{1},u_{2},u_{3} por
u_{1}=v_{1}, \qquad u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}), \qquad u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}),
onde a projeção de v sobre u é
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u,
e \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual (produto escalar). Depois normalizamos cada u_{i} dividindo pela sua norma para obter os vetores unitários e_{1},e_{2},e_{3}.

Passo 6

Primeira etapa: u_{1}=v_{1} e normalização.
Temos
u_{1}=(2,1,0,0).
Calcular norma:
\langle u_{1},u_{1}\rangle=2^{2}+1^{2}=4+1=5, \qquad \|u_{1}\|=\sqrt{5}.
O primeiro vetor ortonormal é
e_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1,0,0).

Passo 7

Segunda etapa: calcular u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}).
Primeiro o produto interno
\langle v_{2},u_{1}\rangle = (-1)\cdot 2 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = -2.
Como \langle u_{1},u_{1}\rangle=5, a projeção é
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2})=\frac{-2}{5}\,u_{1}=\frac{-2}{5}(2,1,0,0)=\Big(-\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0,0\Big).
Então
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}) = \Big(-1+\frac{4}{5},\;0+\frac{2}{5},\;1,\;0\Big) =\Big(-\frac{1}{5},\;\frac{2}{5},\;1,\;0\Big).
Para simplificar a normalização, multiplico u_{2} por 5 e uso o vetor equivalente w_{2}=5u_{2}=(-1,2,5,0). Calculo a norma de w_{2}:
\langle w_{2},w_{2}\rangle = (-1)^{2}+2^{2}+5^{2}+0^{2}=1+4+25=30,
portanto \|w_{2}\|=\sqrt{30}. O segundo vetor ortonormal é
e_{2}=\frac{1}{\sqrt{30}}(-1,2,5,0).
(Obs.: usar w_{2} apenas facilita os cálculos; e_{2} é a normalização correta de u_{2}.)

Passo 8

Terceira etapa: calcular u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}).
Calcule as projeções usando u_{1} e w_{2} (já temos \langle u_{1},u_{1}\rangle=5 e \langle w_{2},w_{2}\rangle=30).
Produto com u_{1}:
\langle v_{3},u_{1}\rangle = (-1)\cdot 2 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = -2.
Logo
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})=\frac{-2}{5}u_{1}=\Big(-\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0,0\Big).
Produto com w_{2}:
\langle v_{3},w_{2}\rangle = (-1)\cdot(-1) + 0\cdot 2 + 0\cdot 5 + 1\cdot 0 = 1.
Logo
\operatorname{proj}_{w_{2}}(v_{3})=\frac{1}{30}w_{2}=\Big(-\frac{1}{30},\frac{2}{30},\frac{5}{30},0\Big).
Somando as duas projeções:
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})+\operatorname{proj}_{w_{2}}(v_{3}) =\Big(-\tfrac{4}{5}-\tfrac{1}{30},\;-\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{30},\;0+\tfrac{5}{30},\;0\Big).
Colocando em denominador comum 30:
=\Big(-\tfrac{24}{30}-\tfrac{1}{30},\;-\tfrac{12}{30}+\tfrac{2}{30},\;\tfrac{5}{30},\;0\Big) =\Big(-\tfrac{25}{30},\;-\tfrac{10}{30},\;\tfrac{5}{30},\;0\Big) =\Big(-\tfrac{5}{6},\;-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{6},\;0\Big).
Agora
u_{3}=v_{3}-\big(\text{soma das projeções}\big) =\Big(-1+\tfrac{5}{6},\;0+\tfrac{1}{3},\;0-\tfrac{1}{6},\;1\Big) =\Big(-\tfrac{1}{6},\;\tfrac{1}{3},\;-\tfrac{1}{6},\;1\Big).çõ
Multiplicando por 6 para eliminar frações, tomo o vetor equivalente
w_{3}=6u_{3}=(-1,2,-1,6).
Calcular a norma de w_{3}:
\langle w_{3},w_{3}\rangle = (-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}+6^{2}=1+4+1+36=42,
portanto \|w_{3}\|=\sqrt{42}. O terceiro vetor ortonormal é
e_{3}=\frac{1}{\sqrt{42}}(-1,2,-1,6).

Passo 9

Verificações rápidas e conclusão.
  • Já verificámos algebraicamente que e_{1},e_{2},e_{3} são mutuamente ortogonais (porque cada u_{i} foi construído subtraindo projeções) e cada um tem norma 1 pela construção.
  • Também e_{4}=\dfrac{1}{\sqrt{7}}(1,-2,1,1) é unitário e ortogonal a todos os v_{i} (e portanto a todos os e_{1},e_{2},e_{3}), porque vem do vetor normal da equação de U.
Assim temos uma base ortonormal de U formada por e_{1},e_{2},e_{3} e uma base ortonormal de U^{\perp} formada por e_{4}.

Resposta

Uma base ortonormal de U:
\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1,0,0), \qquad \frac{1}{\sqrt{30}}(-1,2,5,0), \qquad \frac{1}{\sqrt{42}}(-1,2,-1,6).
Uma base ortonormal de U^{\perp}:
\frac{1}{\sqrt{7}}(1,-2,1,1).

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