Sejam
um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita e
subespaços de
. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte coisa:
- Espaço vetorial com produto interno de dimensão finita:
. - Subespaços de
: e . - Definição a lembrar (implícita no enunciado): para um subespaço
, o complementar ortogonal é
- O enunciado pede para mostrar a igualdade entre conjuntos
Passo 2
Vamos lembrar e explicar algumas coisas úteis (aulas rápidas e leves):
- A soma de subespaços é
Isto é, todo vetor de
é a soma de um vetor de
com um vetor de
.
- Propriedade do produto interno usada: ele é aditivo em cada argumento, isto é, para quaisquer vetores
vale
(Em espaços reais isto é bilinear; em complexos existe conjugação numa das entradas, mas a aditividade — soma — continua válida e basta para nosso argumento.)
- Estratégia padrão para provar igualdade entre conjuntos: mostrar duas inclusões
-
, -
.
Se as duas inclusões forem válidas, os conjuntos são iguais.
-
Passo 3
Prova da primeira inclusão
.
Tomemos um vetor arbitrário
Pelo que significa estar em
, temos
Agora escolha qualquer vetor
. Observe que
e
, então
. Aplicando a propriedade acima,
Como isso vale para todo
, concluímos que
.
De modo análogo, para qualquer
temos
(pois
com
), então
logo
.
Portanto
. Como
foi arbitrário em
, obtemos
Passo 4
Prova da segunda inclusão
.
Tomemos agora um vetor arbitrário
Isto significa que
e
Seja
um vetor qualquer. Por definição de soma de subespaços existe
e
tais que
. Usando a aditividade do produto interno,
Pelas hipóteses sobre
cada termo é zero, então
Como isso vale para todo
, segue que
.
Como
foi arbitrário em
, concluímos
Passo 5
Juntando as duas inclusões das Passos 3 e 4 obtemos a igualdade pedida:
Comentário didático curto: a prova é quase imediata se lembrar que vetores ortogonais a toda soma
têm de ser ortogonais separadamente a
e a
; e recíproco porque a ortogonalidade a cada um é preservada pela soma devido à aditividade do produto interno. Um exemplo concreto para fixar: em
com o produto interno padrão, se
é o eixo
e
é o eixo
, então
e
; também
e
, cuja interseção é
— tudo bate.