Sejam V um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita e U, W subespaços de V. Mostre que:
Se U \subset W^{\perp} e V=W+U, então U=W^{\perp}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • V é um espaço vetorial de dimensão finita equipado com um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle.
    • U e W são subespaços de V.
    • Está dado que U \subset W^{\perp}.
    • Está dado que V = W + U (ou seja, todo vetor de V pode ser escrito como soma de um vetor de W com um vetor de U).
  • O que se pede:
    • Mostrar que U = W^{\perp}.
  • Observação útil (definição):
    • W^{\perp} = \{v\in V \mid \langle v, w\rangle = 0\\ \text{para todo } w\in W\}.

Passo 2

Estratégia para provar a igualdade U = W^{\perp}.
  • Para provar que dois subespaços são iguais, é suficiente provar as duas inclusões:
    1. U \subset W^{\perp} — essa já é dada pelo enunciado.
    2. W^{\perp} \subset U — é esta inclusão que precisamos demonstrar.
  • Plano concreto para (2): pegar um vetor arbitrário x\in W^{\perp}, usar a decomposição V = W + U para escrever x = w + u com w\in W e u\in U, e mostrar que necessariamente w=0. Assim x=u\in U, o que dará W^{\perp}\subset U.

Passo 3

Tomar um vetor arbitrário em W^{\perp} e usar a decomposição.
  • Seja x\in W^{\perp}.
  • Como V = W + U, existem vetores w\in W e u\in U tais que
x = w + u.

Passo 4

Usar a propriedade de ortogonalidade e as propriedades do produto interno para relacionar w e u.
  • Como x\in W^{\perp} e w\in W, tem-se
\langle x, w\rangle = 0.
  • Como u\in U e U\subset W^{\perp}, também u é ortogonal a todo vetor de W; em particular
\langle u, w\rangle = 0.
  • Pelo fato de x = w + u e pela linearidade do produto interno em uma das entradas (ou pela bilinearidade simétrica no caso real), obtém-se
\langle x, w\rangle = \langle w+u, w\rangle = \langle w, w\rangle + \langle u, w\rangle.
  • Substituindo os zeros anteriores:
0 = \langle x, w\rangle = \langle w, w\rangle + \langle u, w\rangle = \langle w, w\rangle + 0,
portanto
\langle w, w\rangle = 0.

Passo 5

Concluir que w=0 e então x\in U.
  • Pelo axioma de positividade do produto interno, \langle w, w\rangle = 0 implica w = 0.
  • Logo, da expressão x = w + u segue x = 0 + u = u.
  • Como u\in U, deduz-se x\in U.

Passo 6

Fechar a prova mostrando a igualdade dos subespaços.
  • Já mostramos que qualquer x\in W^{\perp} pertence a U, isto é, W^{\perp}\subset U.
  • Como também era dada a inclusão U\subset W^{\perp}, concluímos U = W^{\perp}.
  • (Comentário extra rápido: daí decorre que V é, na verdade, soma direta V = W\oplus U, pois U\cap W=\{0\}.)

Resposta

U = W^{\perp}

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