Sejam
um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita e
subespaços de
. Mostre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
-
é um espaço vetorial de dimensão finita equipado com um produto interno . -
e são subespaços de . - Está dado que
. - Está dado que
(ou seja, todo vetor de pode ser escrito como soma de um vetor de com um vetor de ).
-
-
O que se pede:
- Mostrar que
.
- Mostrar que
-
Observação útil (definição):
-
.
-
Passo 2
Estratégia para provar a igualdade
.
-
Para provar que dois subespaços são iguais, é suficiente provar as duas inclusões:
-
— essa já é dada pelo enunciado. -
— é esta inclusão que precisamos demonstrar.
-
-
Plano concreto para (2): pegar um vetor arbitrário
, usar a decomposição para escrever com e , e mostrar que necessariamente . Assim , o que dará .
Passo 3
Tomar um vetor arbitrário em
e usar a decomposição.
- Seja
. - Como
, existem vetores e tais que
Passo 4
Usar a propriedade de ortogonalidade e as propriedades do produto interno para relacionar
e
.
- Como
e , tem-se
- Como
e , também é ortogonal a todo vetor de ; em particular
- Pelo fato de
e pela linearidade do produto interno em uma das entradas (ou pela bilinearidade simétrica no caso real), obtém-se
- Substituindo os zeros anteriores:
portanto
Passo 5
Concluir que
e então
.
- Pelo axioma de positividade do produto interno,
implica . - Logo, da expressão
segue . - Como
, deduz-se .
Passo 6
Fechar a prova mostrando a igualdade dos subespaços.
- Já mostramos que qualquer
pertence a , isto é, . - Como também era dada a inclusão
, concluímos . - (Comentário extra rápido: daí decorre que
é, na verdade, soma direta , pois .)