Seja \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o operador linear definido pela fórmula \mathrm{T}(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y).
Determine se T é injetor, se for, encontre \mathrm{T}^{-1}(x, y, z).
Passo 1
O enunciado define o operador linear \displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x - 2y,\;z,\;x + y\,).
Queremos saber se T é injetor (equivalente a ser invertível em \mathbb{R}^3) e, em caso afirmativo, encontrar a fórmula de T^{-1}. Para isso, vamos escrever T em coordenadas matriciais, verificar que seu determinante é não nulo e então resolver o sistema linear associado para obter a inversa.
Como \det(A) = -3 \neq 0, concluímos que T é injetor (e bijetor).]
Passo 4
Para achar T^{-1}\), seja
\[T(x,y,z) = (u,v,w).
Isso dá o sistema
\begin{cases} x - 2y = u,\\\ z = v,\\\ x + y = w. \end{cases}
Da segunda equação vem \,z=v\]. Das outras duas,
\[x - 2y = u, \quad x + y = w.\]
Subtraindo a primeira da segunda,
\[(x+y) - (x-2y) = w - u \;\Longrightarrow\; 3y = w - u \;\Longrightarrow\; y = \frac{w - u}{3}.\]
Em seguida,
\[x = w - y = w - \frac{w - u}{3} = \frac{u + 2w}{3}.\]
Portanto, para cada \((u,v,w) temos
x = \frac{u + 2w}{3}, \quad y = \frac{w - u}{3}, \quad z = v.
Renomeando (u,v,w) de volta para (x,y,z) na fórmula da inversa, obtemos T^{-1}(x,y,z).