Seja \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o operador linear definido pela fórmula \mathrm{T}(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y).
Determine se T é injetor, se for, encontre \mathrm{T}^{-1}(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
\displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x - 2y,\;z,\;x + y\,).
Queremos saber se T é injetor (equivalente a ser invertível em \mathbb{R}^3) e, em caso afirmativo, encontrar a fórmula de T^{-1}. Para isso, vamos escrever T em coordenadas matriciais, verificar que seu determinante é não nulo e então resolver o sistema linear associado para obter a inversa.

Passo 2

Escrevemos T como multiplicação pela matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
ou seja,
T(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Um operador linear em \mathbb{R}^3 é injetor se, e somente se, \det(A)\neq 0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 \\[2pt] 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(0\cdot 0 - 1\cdot 1) -(-2)\cdot(0\cdot 0 - 1\cdot 1) +0\cdot\bigl(\dots\bigr) = -1 + 2\cdot(-1) = -3.
Como \det(A) = -3 \neq 0, concluímos que T é injetor (e bijetor).]

Passo 4

Para achar T^{-1}\), seja \[T(x,y,z) = (u,v,w).
Isso dá o sistema
\begin{cases} x - 2y = u,\\\ z = v,\\\ x + y = w. \end{cases}
Da segunda equação vem \,z=v\]. Das outras duas, \[x - 2y = u, \quad x + y = w.\] Subtraindo a primeira da segunda, \[(x+y) - (x-2y) = w - u \;\Longrightarrow\; 3y = w - u \;\Longrightarrow\; y = \frac{w - u}{3}.\] Em seguida, \[x = w - y = w - \frac{w - u}{3} = \frac{u + 2w}{3}.\] Portanto, para cada \((u,v,w) temos
x = \frac{u + 2w}{3}, \quad y = \frac{w - u}{3}, \quad z = v.
Renomeando (u,v,w) de volta para (x,y,z) na fórmula da inversa, obtemos T^{-1}(x,y,z).

Resposta

T é injetor e sua inversa é
T^{-1}(x,y,z) = \biggl(\frac{x + 2z}{3},\;\frac{z - x}{3},\;y\biggr).

Exercícios relacionados