Considere \mathbb{R} com a métrica usual e N=\{0\} \cup[1,2) com a métrica usual induzida de \mathbb{R}. Neste contexto, determine as seguintes bolas aberta em relação a N :
B_{N}\left(1, \frac{1}{2}\right);

Passo 1

O enunciado considera o espaço métrico (\mathbb{R},d) com a métrica usual d(x,y)=|x-y| e o subespaço N=\{0\}\cup[1,2) com a métrica induzida. Queremos achar
B_{N}\!\bigl(1,\tfrac12\bigr) =\{\,x\in N:|x-1|<\tfrac12\}.

Passo 2

Primeiro, na reta real com a métrica usual, a bola aberta de raio \tfrac12 em torno de 1 é
B_{\mathbb{R}}\!\bigl(1,\tfrac12\bigr) =\{\,x\in\mathbb{R}:|x-1|<\tfrac12\} =(1-\tfrac12,\;1+\tfrac12) =(0,5,\;1,5).

Passo 3

Como a métrica em N é a induzida, temos
B_{N}\!\bigl(1,\tfrac12\bigr) =B_{\mathbb{R}}\!\bigl(1,\tfrac12\bigr)\;\cap\;N.
Então intersectamos (0,5,1,5) com N=\{0\}\cup[1,2). O ponto 0 não pertence a (0,5,1,5), e o pedaço [1,2) intersectado com (0,5,1,5) é [1,1,5).

Resposta

B_{N}\!\bigl(1,\tfrac12\bigr) = [1,\,1,5).

Exercícios relacionados