com \rho(t) e \theta(t) deriváveis até segunda ordem. Vamos usar a derivada de funções compostas (regra da cadeia) em cada componente para obter as partes (a), (b) e depois aplicar no produto em (c).
Passo 2
Calcular \dfrac{d}{dt}[\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta)].
Por regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta)\bigr] =\bigl(-\cos\theta\,\dot\theta\bigr)\vec i +\bigl(-\sin\theta\,\dot\theta\bigr)\vec j =-\dot\theta\bigl(\cos\theta\,\vec i+\sin\theta\,\vec j\bigr) =-\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta).
Passo 4
Determinar a velocidade \vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}.
Como \vec r=\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}}, usa-se a regra do produto:
\vec v =\frac{d}{dt}(\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}}) =\dot\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}} +\rho\,\frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\rho}}\bigr] =\dot\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}} +\rho\bigl(\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\theta}}\bigr).
Resposta
a) \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta)\bigr]
=\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta).
b) \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta)\bigr]
=-\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta).
c) \displaystyle \vec v
=\dot\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}}
+\rho\,\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\theta}}.