1. Suponha \vec{u}_{\rho}(\theta)=\cos \theta \vec{i}+\operatorname{sen} \theta \vec{j}, \vec{u}_{\theta}(\theta)=-\operatorname{sen} \theta \vec{i}+\cos \theta \vec{j} \mathrm{e} \vec{r}(t)=\rho(t) \overrightarrow{u_{\rho}}(\theta(t)), \operatorname{com} \theta=\theta(t) e \rho=\rho(t) deriváveis até a 2 .^{\text {a }} ordem num intervalo I.
    \left(\right. Notação : \left.\dot{\rho}=\frac{d \rho}{d t}, \dot{\theta}=\frac{d \theta}{d t}, \ddot{\rho}=\frac{d^{2} \rho}{d t^{2}}\right). Verifique que
    a) \frac{d}{d t}\left[\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta)\right]=\dot{\theta} \overrightarrow{u_{\theta}}(\theta).
    b) \frac{d}{d t}\left[\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta)\right]=-\dot{\theta} \overrightarrow{u_{\rho}}(\theta).
    c) \vec{v}=\dot{\rho u_{\rho}}+\rho \dot{\theta} \overrightarrow{u_{\theta}}.

Passo 1

O enunciado define os versores em coordenadas polares no plano:
\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta)=\cos\theta\,\vec i+\sin\theta\,\vec j, \quad \overrightarrow{u_{\theta}}(\theta)=-\sin\theta\,\vec i+\cos\theta\,\vec j,
e o vetor posição
\vec r(t)=\rho(t)\,\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta(t)),
com \rho(t) e \theta(t) deriváveis até segunda ordem. Vamos usar a derivada de funções compostas (regra da cadeia) em cada componente para obter as partes (a), (b) e depois aplicar no produto em (c).

Passo 2

Calcular \dfrac{d}{dt}[\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta)].
Por regra da cadeia,
\frac{d}{dt}(\cos\theta)= -\sin\theta\,\dot\theta, \qquad \frac{d}{dt}(\sin\theta)= \cos\theta\,\dot\theta.
Logo,
\frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta)\bigr] =\bigl(-\sin\theta\,\dot\theta\bigr)\vec i +\bigl(\cos\theta\,\dot\theta\bigr)\vec j =\dot\theta\bigl(-\sin\theta\,\vec i+\cos\theta\,\vec j\bigr) =\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta).

Passo 3

Calcular \dfrac{d}{dt}[\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta)].
De modo análogo,
\frac{d}{dt}(-\sin\theta)= -\cos\theta\,\dot\theta, \qquad \frac{d}{dt}(\cos\theta)= -\sin\theta\,\dot\theta.
Portanto,
\frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta)\bigr] =\bigl(-\cos\theta\,\dot\theta\bigr)\vec i +\bigl(-\sin\theta\,\dot\theta\bigr)\vec j =-\dot\theta\bigl(\cos\theta\,\vec i+\sin\theta\,\vec j\bigr) =-\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta).

Passo 4

Determinar a velocidade \vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}.
Como \vec r=\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}}, usa-se a regra do produto:
\vec v =\frac{d}{dt}(\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}}) =\dot\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}} +\rho\,\frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\rho}}\bigr] =\dot\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}} +\rho\bigl(\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\theta}}\bigr).

Resposta

a) \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta)\bigr] =\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta).
b) \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl[\overrightarrow{u_{\theta}}(\theta)\bigr] =-\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\rho}}(\theta).
c) \displaystyle \vec v =\dot\rho\,\overrightarrow{u_{\rho}} +\rho\,\dot\theta\,\overrightarrow{u_{\theta}}.

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