Considere \mathbb{R}^{3} munido do produto interno usual e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x+2 y, 2 x+y, 3 z) .
(a) Mostre que T é auto-adjunta.
(b) Se existir, encontre uma base ortonormal \mathcal{B} de \mathbb{R}^{3} de modo que [T]_{\mathcal{B}} é uma matriz diagonal.
(c) Calcule T^{n}, para n \in \mathbb{N}.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
O espaço é \mathbb{R}^{3} com o produto interno usual (produto escalar euclidiano).
A transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é dada por
T(x,y,z)=(x+2y,\;2x+y,\;3z).
O enunciado pede três coisas:
(a) Mostrar que T é auto-adjunta (ou seja, T=T^* em relação ao produto interno usual).
(b) Se existir, encontrar uma base ortonormal \mathcal{B} de \mathbb{R}^{3} tal que a matriz de T nessa base seja diagonal.
(c) Calcular T^{n} para n\in\mathbb{N}.
Passo 2
O que significa ser auto-adjunta e como verificar isso aqui (aula rápida).
Definição: um operador linear T é auto-adjunto se, para todo u,v\in\mathbb{R}^{3},
\langle T(u),v\rangle=\langle u,T(v)\rangle,
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual.
Uma maneira prática (no produto interno padrão e na base canônica) é olhar a matriz de T. Se a matriz de T na base canônica for simétrica, então T é auto-adjunta, porque a condição acima equivale a A=A^{T} para a matriz A.
Passo 3
Calcular a matriz de T na base canônica e verificar simetria.
Ação de T nas coordenadas:
T(x,y,z)=(x+2y,\;2x+y,\;3z).
Logo, a matriz A=[T]_{\text{can}} (colunas são as imagens dos vetores canônicos) é
Esta matriz é claramente simétrica porque A=A^{T}. Portanto, por definição, T é auto-adjunta.]
Passo 4
Comentário didático sobre consequências (importante para a parte (b)).
Teorema espectral (versão para espaços euclidianos): um operador auto-adjunto é diagonalizável por uma base ortonormal formada por autovetores reais. Ou seja, existe uma base ortonormal formada por autovetores e, nessa base, a matriz é diagonal com autovalores na diagonal.
Assim, esperamos encontrar uma base ortonormal de autovetores de A.
Passo 5
Encontrar autovalores (calcule a função característica do bloco relevante).
Note que A é bloco-diagonal, com um bloco 2\times2 e um bloco 1\times1. O bloco 2\times2 é
Isto dá -2x+2y=0, ou seja y=x. Assim um autovetor do bloco é (1,1). Juntando a coordenada z, note que a terceira coordenada separa: qualquer vetor (0,0,1) é também autovetor com autovalor 3. Portanto duas direções independentes de autovetores com \lambda=3 são
v_{1}=(1,1,0),\qquad v_{3}=(0,0,1).
Para \lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0 no bloco 2\times2:
que leva a 2x+2y=0, ou y=-x. Um autovetor possível é
v_{2}=(1,-1,0).
Verificação de ortogonalidade entre os autovetores: \langle v_{1},v_{2}\rangle=(1,1,0)\cdot(1,-1,0)=1-1=0. \langle v_{1},v_{3}\rangle=(1,1,0)\cdot(0,0,1)=0. \langle v_{2},v_{3}\rangle=(1,-1,0)\cdot(0,0,1)=0.
Logo os três vetores são mutuamente ortogonais — perfeito para formar uma base ortogonal de autovetores.]
Passo 7
Normalizar os autovetores para formar uma base ortonormal.
Potências ficam fáceis: A^{n}=QD^{n}Q^{T}, e D^{n}=\operatorname{diag}(3^{n},(-1)^{n},3^{n}). Isso significa que T^{n} age em cada autovetor multiplicando por \lambda^{n}.]
Passo 10
Expressar T^{n} explicitamente na base canônica (fórmula de matriz em coordenadas padrão).
Usando projeções nas direções u=(1,1,0)/\sqrt{2} e v=(1,-1,0)/\sqrt{2} (essas são e_{1} e e_{2}), pode-se escrever o bloco 2\times2 das primeiras duas coordenadas como
(a) T é auto-adjunta (a matriz \begin{pmatrix}1&2&0\\[4pt]2&1&0\\[4pt]0&0&3\end{pmatrix} é simétrica).
(b) Uma base ortonormal de autovetores é \mathcal{B}=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0),\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\;(0,0,1)\bigr) e