Considere \mathbb{R}^{3} com o produto interno usual.
Em cada item abaixo, sabendo que \Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é um funcional linear, determine o vetor v \in \mathbb{R}^{3}, tal que \Phi=\Phi_{v}.

Passo 1

O enunciado pede, para cada funcional linear \Phi:\mathbb R^3\to\mathbb R, encontrar o vetor v\in\mathbb R^3 tal que
\Phi(x)=\langle v,x\rangle
para todo x\in\mathbb R^3. Em outras palavras, devemos usar a representação de Riesz no espaço euclidiano: cada funcional linear corresponde unicamente a um produto interno com algum vetor v.

Passo 2

Como não foram fornecidas as expressões concretas de \Phi em cada item, não há como determinar explicitamente o vetor v. Sem a forma de \Phi(x_1,x_2,x_3), não podemos extrair as componentes de v.

Resposta

Não é possível determinar o vetor v porque as definições específicas dos funcionais \Phi não foram fornecidas no enunciado.

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