Considere o subespaço S=\{(x, y, z): x-z=0\} \subset \mathbb{R}^{3} com o produto interno definido por
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}+4 z_{1} z_{2} .
Determine S^{\perp} e uma base ortonormal para este subespaço.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x - z = 0\}
e o produto interno
\langle (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle = 2x_1x_2 + 3y_1y_2 + 4z_1z_2.
Queremos encontrar
S^\perp = \{\,v\in\mathbb{R}^3 : \langle v,w\rangle = 0\;\forall\,w\in S\}
e, em seguida, uma base ortonormal de S^\perp.

Passo 2

Seja v=(x,y,z) um vetor qualquer e seja
w=(t,y',t)\in S,
pois x-z=0 implica x=t e z=t. A condição \langle v,w\rangle=0
\langle (x,y,z),(t,y',t)\rangle = 2xt + 3yy' + 4zt = t(2x+4z) + 3\,y\,y' = 0
para todo t e todo y'. Logo, devemos ter
2x + 4z = 0 \quad\text{e}\quad y = 0.

Passo 3

Da condição 2x+4z=0 segue x + 2z = 0 e y=0. Portanto
S^\perp = \{(x,0,z)\in\mathbb{R}^3 : x + 2z = 0\} = \operatorname{span}\{(-2,0,1)\}.

Passo 4

Escolhemos u = (-2,0,1). Seu quadrado da norma é
\|u\|^2 = \langle u,u\rangle = 2\cdot(-2)^2 + 3\cdot 0^2 + 4\cdot 1^2 = 8 + 4 = 12,
logo \|u\| = 2\sqrt{3}. Um vetor unitário é
e = \frac{1}{2\sqrt{3}}\,(-2,0,1) = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,0,\,\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Bigr).

Resposta

S^\perp = {(x,0,z)\in\mathbb{R}^3 : x +2z =0} = \operatorname{span}{(-2,0,1)}.
Uma base ortonormal de S^\perp é
\Bigl\{\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,0,\,\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\bigr)\Bigr\}.

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