Sabendo que U=\{(x+y, x-y, x, x): x, y \in \mathbb{R}\}, determine U^{\perp}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = \{(x+y,\;x-y,\;x,\;x)\mid x,y\in\mathbb{R}\}
no espaço \mathbb{R}^4 com o produto interno usual, e pede U^\perp, o complemento ortogonal. Vamos usar a definição \mathbf v\in U^\perp se e somente se \mathbf v\cdot\mathbf u=0 para todo \mathbf u\in U.

Passo 2

Parametrizamos um vetor genérico de U por
\mathbf u = (\,x+y,\;x-y,\;x,\;x\,),\quad x,y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Sejam \mathbf v=(a,b,c,d). A condição \mathbf v\cdot\mathbf u=0 para todo x,y
\mathbf v\cdot\mathbf u = a(x+y) + b(x-y) + c\,x + d\,x = x\,(a+b+c+d) \;+\; y\,(a-b) \equiv 0\quad\forall x,y.
Logo devemos ter
\begin{cases} a + b + c + d = 0,\\\ a - b = 0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem b=a. Substituindo na primeira:
a + a + c + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a + c + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -2a - c.
Assim \mathbf v = (a,\;a,\;c,\;-2a - c), com a,c livres.

Passo 5

Escolhendo parâmetros básicos:
  • Para (a,c)=(1,0) obtemos \mathbf v_1=(1,1,0,-2).
  • Para (a,c)=(0,1) obtemos \mathbf v_2=(0,0,1,-1).
Portanto
U^\perp = \mathrm{span}\{(1,1,0,-2),\;(0,0,1,-1)\}.

Resposta

U^\perp = \mathrm{span}\{(1,1,0,-2),\,(0,0,1,-1)\}.

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