Mostre que se T \in L(V) é inversível, então T^{*} também é inversível e \left(T^{*}\right)^{-1}=\left(T^{-1}\right)^{*}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial com produto interno V, se um operador linear T\in L(V) é inversível (isto é, existe T^{-1}\in L(V) tal que
T^{-1}T = TT^{-1} = I,
onde I é a identidade), então o adjunto T^* também é inversível e satisfaz
\bigl(T^*\bigr)^{-1} \;=\; \bigl(T^{-1}\bigr)^*.
Para isso, vamos usar o fato fundamental de que o adjunto de um produto de operadores inverte a ordem:
\bigl(AB\bigr)^* \;=\; B^* A^*
e que o adjunto da identidade é a própria identidade.

Passo 2

Recordando propriedades de adjuntos: para quaisquer A,B\in L(V) vale
(AB)^* \;=\; B^* A^* \quad\text{e}\quad I^* \;=\; I.
Em particular, aplicaremos isso aos produtos T^{-1}T e TT^{-1}.

Passo 3

Como T^{-1}T = I, tomamos adjunto em ambos os lados:
\bigl(T^{-1}T\bigr)^* \;=\; I^*.
Pelo item anterior, o lado esquerdo é
\bigl(T^{-1}T\bigr)^* \;=\; T^*(T^{-1})^*,
e o direito é I^* = I. Logo
T^*\,(T^{-1})^* \;=\; I.

Passo 4

De modo análogo, como TT^{-1} = I, temos
\bigl(TT^{-1}\bigr)^* \;=\; I^* \quad\Longrightarrow\quad (T^{-1})^*\,T^* \;=\; I.

Passo 5

As igualdades
T^*\,(T^{-1})^* = I \quad\text{e}\quad (T^{-1})^*\,T^* = I
mostram que (T^{-1})^* é o inverso de T^*. Portanto T^* é inversível e
\bigl(T^*\bigr)^{-1} \;=\; \bigl(T^{-1}\bigr)^*.

Resposta

Mostramos que o adjunto de T é inversível e que
\bigl(T^*\bigr)^{-1} \;=\; \bigl(T^{-1}\bigr)^*.

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