Mostre que se
é inversível, então
também é inversível e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial com produto interno
, se um operador linear
é inversível (isto é, existe
tal que
onde
é a identidade), então o adjunto
também é inversível e satisfaz
Para isso, vamos usar o fato fundamental de que o adjunto de um produto de operadores inverte a ordem:
e que o adjunto da identidade é a própria identidade.
Passo 2
Recordando propriedades de adjuntos: para quaisquer
vale
Em particular, aplicaremos isso aos produtos
e
.
Passo 3
Como
, tomamos adjunto em ambos os lados:
Pelo item anterior, o lado esquerdo é
e o direito é
. Logo
Passo 4
De modo análogo, como
, temos
Passo 5
As igualdades
mostram que
é o inverso de
. Portanto
é inversível e
Resposta
Mostramos que o adjunto de
é inversível e que