Seja \mathrm{S}=\left\{\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \ldots \ldots . ., \mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right\} \subset \mathrm{V} espaço vetorial, Mostre que [S] é um sub-espaço.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\}\subset V, onde V é um espaço vetorial sobre um corpo (campo) \mathbb{F}. Pede para mostrar que [S] é um subespaço de V.
Informações relevantes fornecidas:
  • S é um subconjunto de V, formado pelos vetores u_{1},\ldots,u_{n}.
  • A notação [S] é a que precisa ser provada como subespaço (mais adiante vamos explicar exatamente o que [S] significa).
  • Objetivo: provar que [S] satisfaz as propriedades que definem um subespaço de V.

Passo 2

Definição (explicada passo a passo). Vou definir com clareza o que é [S].
  • Uma combinação linear finita de vetores de S é qualquer vetor da forma
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k},
onde k é um inteiro positivo, cada v_{i} pertence a S e cada \alpha_{i} é um escalar em \mathbb{F}. Aqui:
  • \alpha_{i} são os coeficientes escalares (podem ser 0, positivos, negativos, etc.);
  • v_{i} são vetores tirados de S.
  • O espaço gerado por S, denotado por [S], é o conjunto de todas essas combinações lineares finitas. Em notação:
[S]=\left\{\,\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}v_{i}\;\middle|\;k\in\mathbb{N},\\ v_{i}\in S,\\ \alpha_{i}\in\mathbb{F}\,\right\}.
Explicação intuitiva: [S] é o conjunto de todos os vetores que dá para montar usando somas e multiplicações por escalar dos vetores de S.

Passo 3

Plano de prova (o que preciso provar exatamente). Para mostrar que [S] é subespaço de V basta verificar três propriedades (a definição prática de subespaço):
  1. [S] é não vazio (ou contém o vetor zero).
  2. [S] é fechado sob soma: se x,y\in[S] então x+y\in[S].
  3. [S] é fechado sob multiplicação por escalares: se x\in[S] e c\in\mathbb{F} então c x\in[S].
Se essas três propriedades acontecerem, então [S] é subespaço. Vou provar cada uma.

Passo 4

Prova de que [S] contém o vetor zero (não vazio). Pegue os coeficientes todos iguais a zero numa combinação linear com qualquer k (por exemplo, k=1 ou k=n); assim
0\cdot u_{1}+0\cdot u_{2}+\cdots+0\cdot u_{n}=\mathbf{0}.
Essa soma é uma combinação linear de vetores de S, logo \mathbf{0}\in[S]. Portanto [S] não é vazio e contém o vetor zero.
Comentário didático: sempre que se permite coeficientes zero, fica fácil garantir o zero; isto é praticamente automático em spans.

Passo 5

Prova da fechamento por soma (passo chave). Seja x e y vetores quaisquer em [S]. Pela definição de [S] existem escalares \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} e \beta_{1},\ldots,\beta_{n} (alguns desses coeficientes podem ser zero) tais que, escrevendo em termos dos mesmos u_{1},\ldots,u_{n},
x=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}u_{k}, \qquad y=\sum_{k=1}^{n}\beta_{k}u_{k}.
(Aqui usei a conveniência de escrever as combinações com índice até n: se originalmente uma combinação usou menos vetores, isso é equivalente a usar coeficientes zero para os demais.)
Agora some x e y:
x+y=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}u_{k}+\sum_{k=1}^{n}\beta_{k}u_{k} =\sum_{k=1}^{n}(\alpha_{k}+\beta_{k})u_{k}.
Os números \alpha_{k}+\beta_{k} são escalares em \mathbb{F}, logo x+y é uma combinação linear finita dos u_{k}. Portanto x+y\in[S]. Assim [S] é fechado sob soma.
Explicação extra: a ideia prática é reunir coeficientes dos mesmos vetores; como o conjunto S é o mesmo para ambas combinações, podemos somar coeficientes correspondentes.

Passo 6

Prova da fechamento por multiplicação escalar. Seja x\in[S] e c\in\mathbb{F}. Como x\in[S], existem escalares \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} tais que
x=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}u_{k}.
Multiplicando por c obtemos
c x = c\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}u_{k}=\sum_{k=1}^{n}(c\alpha_{k})u_{k}.
Cada c\alpha_{k} é escalar em \mathbb{F}, logo c x é uma combinação linear finita dos vetores de S. Assim c x\in[S]. Portanto [S] é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 7

Propriedades adicionais úteis (curiosidade e reforço). A partir dos passos anteriores também segue que, para qualquer x\in[S], o inverso aditivo -x pertence a [S] porque -x=(-1)\,x e [S] é fechado por escalares (pegando c=-1). Isso mostra que [S] é um subgrupo aditivo, o que é outra maneira de ver que é subespaço quando combinado com fechamento por escalares.
Também vale observar a interpretação alternativa: [S] é o menor subespaço de V que contém S; tecnicamente é a interseção de todos os subespaços que contêm S. Essa visão explica por que [S] deve ser subespaço sem muito cálculo, pois interseção de subespaços é subespaço — mas a prova direta acima pelo fechamento é mais elementar e suficiente.

Passo 8

Exemplo concreto para fixar (rápido e prático). Em \mathbb{R}^{3}, tome S=\{(1,0,0),(0,1,0)\}. Então
[S]=\left\{a(1,0,0)+b(0,1,0)\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}=\{(a,b,0)\mid a,b\in\mathbb{R}\},
que é claramente um subespaço (o plano z=0). O raciocínio do fechamento por soma e por escalares aplicado aqui é exatamente o mesmo do caso geral.

Resposta

[S] é um subespaço de V.

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