Seja \mathrm{S}=\left\{\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \ldots \ldots . ., \mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right\} \subset \mathrm{V} espaço vetorial, Mostre que [S] é um sub-espaço.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S=\{u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\}\subset V, onde V é um espaço vetorial sobre um corpo (campo) \mathbb{F}. Pede para mostrar que [S] é um subespaço de V.
Informações relevantes fornecidas:
S é um subconjunto de V, formado pelos vetores u_{1},\ldots,u_{n}.
A notação [S] é a que precisa ser provada como subespaço (mais adiante vamos explicar exatamente o que [S] significa).
Objetivo: provar que [S] satisfaz as propriedades que definem um subespaço de V.
Passo 2
Definição (explicada passo a passo). Vou definir com clareza o que é [S].
Uma combinação linear finita de vetores de S é qualquer vetor da forma
Explicação intuitiva: [S] é o conjunto de todos os vetores que dá para montar usando somas e multiplicações por escalar dos vetores de S.
Passo 3
Plano de prova (o que preciso provar exatamente). Para mostrar que [S] é subespaço de V basta verificar três propriedades (a definição prática de subespaço):
[S] é não vazio (ou contém o vetor zero).
[S] é fechado sob soma: se x,y\in[S] então x+y\in[S].
[S] é fechado sob multiplicação por escalares: se x\in[S] e c\in\mathbb{F} então c x\in[S].
Se essas três propriedades acontecerem, então [S] é subespaço. Vou provar cada uma.
Passo 4
Prova de que [S] contém o vetor zero (não vazio). Pegue os coeficientes todos iguais a zero numa combinação linear com qualquer k (por exemplo, k=1 ou k=n); assim
Essa soma é uma combinação linear de vetores de S, logo \mathbf{0}\in[S]. Portanto [S] não é vazio e contém o vetor zero.
Comentário didático: sempre que se permite coeficientes zero, fica fácil garantir o zero; isto é praticamente automático em spans.
Passo 5
Prova da fechamento por soma (passo chave). Seja x e y vetores quaisquer em [S]. Pela definição de [S] existem escalares \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} e \beta_{1},\ldots,\beta_{n} (alguns desses coeficientes podem ser zero) tais que, escrevendo em termos dos mesmos u_{1},\ldots,u_{n},
(Aqui usei a conveniência de escrever as combinações com índice até n: se originalmente uma combinação usou menos vetores, isso é equivalente a usar coeficientes zero para os demais.)
Os números \alpha_{k}+\beta_{k} são escalares em \mathbb{F}, logo x+y é uma combinação linear finita dos u_{k}. Portanto x+y\in[S]. Assim [S] é fechado sob soma.
Explicação extra: a ideia prática é reunir coeficientes dos mesmos vetores; como o conjunto S é o mesmo para ambas combinações, podemos somar coeficientes correspondentes.
Passo 6
Prova da fechamento por multiplicação escalar. Seja x\in[S] e c\in\mathbb{F}. Como x\in[S], existem escalares \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} tais que
x=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}u_{k}.
Multiplicando por c obtemos
c x = c\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}u_{k}=\sum_{k=1}^{n}(c\alpha_{k})u_{k}.
Cada c\alpha_{k} é escalar em \mathbb{F}, logo c x é uma combinação linear finita dos vetores de S. Assim c x\in[S]. Portanto [S] é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 7
Propriedades adicionais úteis (curiosidade e reforço). A partir dos passos anteriores também segue que, para qualquer x\in[S], o inverso aditivo -x pertence a [S] porque -x=(-1)\,x e [S] é fechado por escalares (pegando c=-1). Isso mostra que [S] é um subgrupo aditivo, o que é outra maneira de ver que é subespaço quando combinado com fechamento por escalares.
Também vale observar a interpretação alternativa: [S] é o menor subespaço de V que contém S; tecnicamente é a interseção de todos os subespaços que contêm S. Essa visão explica por que [S] deve ser subespaço sem muito cálculo, pois interseção de subespaços é subespaço — mas a prova direta acima pelo fechamento é mais elementar e suficiente.
Passo 8
Exemplo concreto para fixar (rápido e prático). Em \mathbb{R}^{3}, tome S=\{(1,0,0),(0,1,0)\}. Então