Considere \mathcal{L}(f)(s)=F(s)=\frac{1}{s(s-3)}. Determine f(t) :
(a) Utilizando frações parciais;
(b) Utilizando convolução.

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s(s-3)}
e pede f(t) usando
  • (a) frações parciais,
  • (b) convolução.
    O conteúdo envolve propriedades da transformada inversa: linearidade, frações parciais e o teorema da convolução.

Passo 2

Para o método das frações parciais, escrevemos
\frac{1}{s(s-3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}.
Multiplicando por s(s-3)\) tem-se \[1=A(s-3)+B\,s.
Comparando coeficientes em s e constantes:
\begin{cases} A+B=0,\\\\ -3A=1, \end{cases}
logo A=-\tfrac{1}{3}\] e \(B=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
f(t) =-\tfrac{1}{3}\,\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\} +\tfrac{1}{3}\,\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-3}\} =-\tfrac{1}{3}\cdot 1 +\tfrac{1}{3}e^{3t} =\tfrac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr).

Passo 4

Pelo teorema da convolução, note que
F(s)=\frac{1}{s}\;\cdot\;\frac{1}{s-3}
é o produto de F_1(s)=1/s e F_2(s)=1/(s-3). Então
f(t)=f_1*f_2(t) =\int_{0}^{t}f_1(\tau)\,f_2(t-\tau)\,d\tau,
onde f_1(t)=1 e f_2(t)=e^{3t} para t\ge0.

Passo 5

Calculamos a convolução:
f(t) =\int_{0}^{t}1\cdot e^{3(t-\tau)}\,d\tau =e^{3t}\int_{0}^{t}e^{-3\tau}\,d\tau =e^{3t}\Bigl[-\tfrac{1}{3}e^{-3\tau}\Bigr]_{0}^{t} =e^{3t}\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-3t}+\tfrac{1}{3}\Bigr) =\tfrac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr).

Resposta

f(t)=\displaystyle\frac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr) para t\ge0.

Exercícios relacionados